Question

【题目】定义在R上的函数y=f（x）为减函数，且函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，若f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0，且0≤x≤2，则x﹣b的取值范围是（ ）
A.[﹣2，0]
B.[﹣2，2]
C.[0，2]
D.[0，4]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设P（x，y）为函数y=f（x﹣1）的图象上的任意一点，关于（1，0）对称点为（2﹣x，﹣y）， ∴f（2﹣x﹣1）=﹣f（x﹣1），即f（1﹣x）=﹣f（x﹣1）．
∴不等式f（x2﹣2x）+f（2b﹣b2）≤0化为f（x2﹣2x）≤﹣f（2b﹣b2）=f（1﹣1﹣2b+b2）
=f（b2﹣2b），
∵函数y=f（x）为定义在R上的减函数，
∴x2﹣2x≥b2﹣2b，
化为（x﹣1）2≥（b﹣1）2 ，
∵0≤x≤2，∴ 或 ．
画出可行域．设x﹣b=z，则b=x﹣z，由图可知：当直线b=x﹣z经过点（0，2）时，z取得最小值﹣2．
当直线b=x﹣z经过点（2，0）时，z取得最大值2．
综上可得：x﹣b的取值范围是[﹣2，2]．
故选B．

【考点精析】本题主要考查了奇偶性与单调性的综合的相关知识点，需要掌握奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性才能正确解答此题．