Question

18、已知P是矩形ABCD所在平面外一点，∠PAB=∠PAD=90°，PA=12，AB=3，AD=4．
（1）求证：PA⊥BD．
（2）求线段PC的长．

Answer 1

分析：（1）由已知中∠PAB=∠PAD=90°，我们易得PA⊥AB，PA⊥AD，结合线面垂直的判定定理，可得PA⊥平面ABCD，再由线面垂直的性质即可得到PA⊥BD．
（2）由已知中四边形ABCD为矩形，且AB=3，AD=4，根据勾股定理，我们可得矩形的对角线AC的长，再由（1）的结论，可得PA⊥AC，结合PA=12，由勾股定理即可得到线段PC的长．

解答：解（1）：证明：∵∠PAB=∠PAD=90°，
∴PA⊥AB，PA⊥AD
又∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
又∵BD?平面ABCD
∴PA⊥BD．
（2）∵四边形ABCD为矩形，且AB=3，AD=4
∴AC=5
又∵AC?平面ABCD，
∴PA⊥AC
又∵PA=12
∴PC=13

点评：本题考查的知识眯是直线与平面垂直的性质，空间点到点间距离的计算，其中熟练掌握空间线线垂直与线面垂直之间的辩证关系，将直角三角形与垂直问题有机结合，是解答本题的关键．