【题目】已知圆A:(x+2)2+y2=1,圆B:(x﹣2)2+y2=49,动圆P与圆A,圆B均相切.
(1)求动圆圆心P的轨迹方程;
(2)已知点N(2, ),作射线AN,与“P点 轨迹”交于另一点M,求△MNB的周长.
【答案】
(1)解:∵圆A:(x+2)2+y2=1,圆B:(x﹣2)2+y2=49,动圆P与圆A,圆B均相切,
∴圆A的圆心A(﹣2,0),半径R1=1,圆B的圆心B(2,0),半径R2=7,
设动圆圆心P(x,y),半径为r,而圆A内含于圆B,
当动圆P与圆A外切,与圆B内切时,有|PA|=r+1,|PB|=7﹣r,
∴|PA|+|PB|=8>|AB|=4,
由椭圆定义知:动点P是以A,B为焦点的椭圆,其方程为 .
当动圆P与圆A内切,与圆B内切时,有|PA|=r﹣1,|PB|=7﹣r,
∴|PA|+|PB|=6>|AB|=4,
由椭圆定义知:动点P是以A,B为焦点的椭圆,其方程为 .
综上可知,动点P的轨迹方程为: 或
(2)解:由题意N点在椭圆 上,A,B是两椭圆 和 的公共焦点,
由椭圆定义知:|MA|+|MB|=8,|NA|+|NB|=6,
两式相减得:|MN|+|MB|﹣|NB|=2,而 ,
故△MNB周长等于
【解析】(1)设动圆圆心P(x,y),半径为r,而圆A内含于圆B,当动圆P与圆A外切,与圆B内切时,动点P是以A,B为焦点的椭圆;当动圆P与圆A内切,与圆B内切时,动点P是以A,B为焦点的椭圆.由此能求出动点P的轨迹方程.(2)由椭圆定义知:|MA|+|MB|=8,|NA|+|NB|=6,由此能求出△MNB周长.
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【题目】下列说法中,正确的是( )
A.命题“若x≠2或y≠7,则x+y≠9”的逆命题为真命题
B.命题“若x2=4,则x=2”的否命题是“若x2=4,则x≠2”
C.命题“若x2<1,则﹣1<x<1”的逆否命题是“若x<﹣1或x>1,则x2>1”
D.若命题p:x∈R,x2﹣x+1>0,q:x0∈(0,+∞),sinx0>1,则(¬p)∨q为真命题
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【题目】已知向量 =(cosα,sinα), =(﹣2,2).
(1)若 = ,求(sinα+cosα)2的值;
(2)若 ,求sin(π﹣α)sin( )的值.
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【题目】已知函数f(x)=x|x﹣a|+2x.
(1)若函数f(x)在R上是增函数,求实数a的取值范围;
(2)求所有的实数a,使得对任意x∈[1,2]时,函数f(x)的图象恒在函数g(x)=2x+1图象的下方;
(3)若存在a∈[﹣4,4],使得关于x的方程f(x)=tf(a)有三个不相等的实数根,求实数t的取值范围.
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【题目】已知函数f(x)=Asin(ωx﹣ )(其中A,ω为常数,且A>0,ω>0)的部分图象如图所示.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若f(α+ )= ,f(β+ )= ,且α,β∈(0, ),求α+β的值.
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【题目】已知函数f(x)=asinx﹣bcosx(a,b为常数,a≠0,x∈R)在x= 处取得最大值,则函数y=f(x+ )是( )
A.奇函数且它的图象关于点(π,0)对称
B.偶函数且它的图象关于点( ,0)对称
C.奇函数且它的图象关于点( ,0)对称
D.偶函数且它的图象关于点(π,0)对称
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