Question

14．如图，四棱锥S-ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，AB=BC=2，CD=SD=1，侧面SAB为等边三角形．
（1）证明：AB⊥SD；
（2）求二面角A-SB-C的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB的中点E，连结DE，推导出BE⊥DE，AB⊥SE，由此能证明AB⊥SD．
（2）分别以DE，DC＜DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A-SB-C的正弦值．

解答 证明：（1）取AB的中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，∴BE⊥DE，
∵△SAB为等边三角形，∴AB⊥SE，
∵SE∩DE=E，
∴AB⊥平面SED，SD?平面SED，
∴AB⊥SD．
解：（2）由（1）知DE⊥DC，过D作DF⊥平面ABCD，则DE，DC，DF两两垂直，
分别以DE，DC＜DF所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（2，-1，0），B（2，1，0），C（0，1，0），
∵SD=1，DE=2，SE=$\sqrt{3}$，
∴SD⊥SE，∴SD⊥平面SAB，
∴S（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{DS}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面SBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{SC}$=（-$\frac{1}{2}$，1，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{BC}$=（-2，0，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{SC}=-2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}x+y-\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1），
设二面角A-SB-C的平面角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{DS}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{DS}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{7}}{2}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-（\frac{\sqrt{21}}{7}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-SB-C的正弦值为$\frac{2\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．