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    【题目】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点.

    （1）证明：平面；

    （2）求二面角的正弦值.

    【答案】（1）证明见解析（2）

    【解析】

    （1）过作，易证，再证明即可； （2）以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，用向量坐标法求解即可.

    （1）证明：如图，过作，则

    且，

    又，，

    ∴四边形为平行四边形，则，

    由，为中点，得为中点，而为中点，

    ∴，，则四边形为平行四边形，则，

    ∴，

    ∵平面，平面，

    ∴平面

    （2）解：以为坐标原点，以垂直于得直线为轴，以所在直线为轴，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，

    则，，，

    ，，

    设平面的一个法向量为，

    由，取，得，

    又平面的一个法向量为，

    ∴

    因为

    .

    ∴二面角的正弦值为.

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    求证：平面；

    求二面角的余弦值．

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    (1)求证： 平面；

    (2)求证： ；

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    【题目】平面上有12个点,且任意三点不共线,以其中任意一点为始点,另一点为终点作向量,且作出所有的向量.其中3边向量的和为零向量的三角形称为“零三角形”.求以这些点为顶点的“零三角形”个数的最大值.

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    【题目】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.

    （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

    （2）已知每检测一件产品需要费用50元，设表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列和数学期望.

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    【题目】为了解使用手机是否对学生的学习有影响，某校随机抽取100名学生，对学习成绩和使用手机情况进行了调查，统计数据如表所示（不完整）：

    使用手机

    不使用手机

    总计

    学习成绩优秀

    10

    40

    学习成绩一般

    30

    总计

    100

    （Ⅰ）补充完整所给表格，并根据表格数据计算是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与使用手机有关；

    （Ⅱ）现从上表不使用手机的学生中按学习成绩是否优秀分层抽样选出6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中“学习成绩优秀”的人数为，试求的分布列与数学期望.

    参考公式：，其中.

    参考数据：

    0.050

    0.010

    0.001

    3.841

    6.635

    10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】为了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对名小学六年级学生进行了问卷调查，并得到如下列联表．平均每天喝以上为“常喝”，体重超过为“肥胖”．

    常喝

    不常喝

    合计

    肥胖

    2

    不肥胖

    18

    合计

    30

    已知在全部人中随机抽取人，抽到肥胖的学生的概率为．

    （1）请将上面的列联表补充完整；

    （2）是否有的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关?请说明你的理由；

    （3）已知常喝碳酸饮料且肥胖的学生中恰有2名女生，现从常喝碳酸饮料且肥胖的学生中随机抽取2人参加一个有关健康饮食的电视节目，求恰好抽到一名男生和一名女生的概率．

    附：

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    【题目】齐王有上等,中等,下等马各一匹；田忌也有上等,中等,下等马各一匹.田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛,若有优势的马一定获胜,则齐王的马获胜的概率为（ ）

    A. B. C. D.

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    【题目】如果一个正整数n在三进制下的各位数字之和能被3整除，则称n为“恰当数”。求S={1,2,...,2005}中全体恰当数之和。

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