Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且∠ABC=120°．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F． （Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AEF所成的二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】证明：（Ⅰ）∵底面ABCD是菱形，∴AB∥CD， 又∵AB面PCD，CD面PCD，∴AB∥面PCD
又∵A，B，E，F四点共面，且平面ABEF∩平面PCD=EF，
∴AB∥EF
解：（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，
∵PA=PD，∴PG⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PG⊥平面ABCD
∴PG⊥GB，在菱形ABCD中，∵AB=AD，∠DAB=60°，G是AD中点，∴AD⊥GB，
如图，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz
由PA=PD=AD=2得，G（0，0，0），A（1，0，0），
， ，D（﹣1，0，0），
又∵AB∥EF，点E是棱PC中点，∴点F是棱PD中点，
∴ ， ， ，
设平面AFE的法向量为 ，
则有 ，∴ ，
不妨令x=3，则平面AFE的一个法向量为 ，
∵BG⊥平面PAD，∴ 是平面PAF的一个法向量，
，
∴平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值为：
．

【解析】（Ⅰ）推导出AB∥CD，从而AB∥面PCD，由此能证明AB∥EF．（Ⅱ）取AD中点G，连接PG，GB，以G为原点，GA、GB、GP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系G﹣xyz，利用向量法能求出平面PAF与平面AFE所成的二面角的正弦值．
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．