Question

6．已知各项均为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₅=2a₃+a₄，且S₅=62
（1）求数列{a_n}的通项公式
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析 （1）设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，由a₅=2a₃+a₄，且S₅=62，可得${a}_{3}{q}^{2}=2{a}_{3}+{a}_{3}q$，$\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}$=62，解得q，a₁，即可得出．
（2）${S}_{n}=\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．可得b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）设各项均为正数的等比数列{a_n}的公比为q＞0，∵a₅=2a₃+a₄，且S₅=62，
∴${a}_{3}{q}^{2}=2{a}_{3}+{a}_{3}q$，$\frac{{a}_{1}（{q}^{5}-1）}{q-1}$=62，解得q=2=a₁，
∴a_n=2ⁿ．
（2）${S}_{n}=\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$=2ⁿ⁺¹-2．
b_n=$\frac{{a}_{n+1}}{{S}_{n}{S}_{n+1}}$=$\frac{{2}^{n+1}}{（{2}^{n+1}-2）（{2}^{n+2}-2）}$=$\frac{1}{{2}^{n+1}-2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$（\frac{1}{{2}^{2}-2}-\frac{1}{{2}^{3}-2}）$+$（\frac{1}{{2}^{3}-2}-\frac{1}{{2}^{4}-2}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n+1}-2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}）$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{n+2}-2}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．