Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B分别是椭圆：

x2

4

+y²=1的左、右顶点，P（2，t）（t∈R，且t≠0）为直线x=2上一动点，过点P任意引一直线l与椭圆交于C、D，连结PO，直线PO分别和AC、AD连线交于E、F．
（1）当直线l恰好经过椭圆右焦点和上顶点时，求t的值；
（2）若t=-1，记直线AC、AD的斜率分别为k₁，k₂，求证：

1

k1

+

1

k2

定值；
（3）求证：四边形AFBE为平行四边形．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由题意得l：y=-

3

3

x+1，由此能求出t的值．
（2）直线AC：y=k₁（x+2），与

x2

4

+y2=1联立得C：

x= 2-8k12 1+4k12 y= 4k1 1+4k12

，同理得D：

x= 2-8k22 1+4k22 y= 4k2 1+4k22

，由此能证明

1

k1

+

1

k2

=-4（定值）．
（3）要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O．

解答： （1）解：由题意：椭圆：

x2

4

+y²=1上顶点C（0，1），
右焦点E（-

3

，0），
所以l：y=-

3

3

x+1，
令x=2，得t=1-

2 3

3

．…（2分）
（2）证明：直线AC：y=k₁（x+2），与

x2

4

+y2=1联立
得C：

x= 2-8k12 1+4k12 y= 4k1 1+4k12

，同理得D：

x= 2-8k22 1+4k22 y= 4k2 1+4k22

，…（4分）
由C，D，P三点共线得：k_CP=k_DP，得

1

k1

+

1

k2

=-4（定值）．…（8分）
（3）证明：要证四边形AFBE为平行四边形，即只需证E、F的中点即点O，
设点P（2，t），则OP：y=

t

2

x，
分别与直线AC：y=k₁（x+2）与AD：y=k₂（x+2）联立得：
x_E=

4k1

t-2k1

，x_F=

4k2

t-2k2

，下证：x_E+x_F=0，即

4k1

t-2k1

+

4k2

t-2k2

=0
化简得：t（k₁+k₂）-4k₁k₂=0…（12分）
由（2）知C：

x= 2-8k12 1+4k12 y= 4k1 1+4k12

，D：

x= 2-8k22 1+4k22 y= 4k2 1+4k22

，
由C，D，P三点共线得：k_CP=k_DP，
得t（k₁+k₂）-4k₁k₂=0，
所以四边形AFBE为平行四边形．…（16分）

点评：本题考查实数值的求法，考查两直线的斜率的倒数和为定值的证明，考查四边形为平行四边形的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．