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8.在如图所示的△ABC中,内角A,B,C所对的边的长分别为a,b,c,已知a=c,且满足$cosC+({cosA-\sqrt{3}sinA})cosB=0$,若点O是△ABC外一点,且OA=2OB=4,∠AOB=θ,则四边形OACB面积的最大值为(  )
A.$4+4\sqrt{3}$B.$5+4\sqrt{3}$C.12D.$8+5\sqrt{3}$

分析 利用余弦定理求出c,将$cosC+({cosA-\sqrt{3}sinA})cosB=0$进行化简解出B,代入面积公式得到关于θ的三角函数,利用三角函数的性质求出最大值.

解答 解:在△AOB中,S△AOB=$\frac{1}{2}$OA•OBsinθ=4sinθ,
由余弦定理得c2=OA2+OB2-2OA•OB•cosθ=20-16cosθ,
∵a=c,∴A=C,
∵$cosC+({cosA-\sqrt{3}sinA})cosB=0$,
∴-cos(A+B)+cosAcosB-$\sqrt{3}$sinAcosB=0,
化简得sinAsinB=$\sqrt{3}$sinAcosB,解得B=60°.
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$c2sinB=5$\sqrt{3}$-4$\sqrt{3}$cosθ,
∴S四边形OACB=S△AOB+S△ABC=4sinθ-4$\sqrt{3}$cosθ+5$\sqrt{3}$=8sin(θ-$\frac{π}{3}$)+5$\sqrt{3}$.
∴当sin(θ-$\frac{π}{3}$)=1时,四边形OACB面积取得最大值8+5$\sqrt{3}$.
故选:D.

点评 本题考查了三角函数的恒等变换及性质,求出B的大小得出面积关于θ的关系式是关键.

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