Question

已知双曲线的焦点在y轴，实轴长为8，离心率，过双曲线的弦AB被点P（4，2）平分；
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求弦AB所在直线方程；
（3）求直线AB与渐近线所围成三角形的面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）双曲线的焦点在y轴，设双曲线的标准方程为．实轴长为8，离心率，由此能求出双曲线的标准方程．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．，故，，由此能导出弦AB所在直线方程．
（3）等轴双曲线的渐近线方程为y=±x．直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），由此能求出直线AB与渐近线所围成三角形的面积．
解答：解：（1）∵双曲线的焦点在y轴，∴设双曲线的标准方程为；
∵实轴长为8，离心率，∴，∴b²=c²-a²=16．
或∵实轴长为8，离心率，
∴双曲线为等轴双曲线，a=b=4．
∴双曲线的标准方程为．
（2）设弦AB所在直线方程为y-2=k（x-4），A，B的坐标为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∴，；
∴⇒⇒
代入x₁+x₂=8，y₁+y₂=4，
得，
∴，
∴，
∴k=2；
所以弦AB所在直线方程为y-2=2（x-4），即2x-y-6=0．
（3）等轴双曲线的渐近线方程为y=±x．
∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形．
又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为（6，6），（2，-2），
∴直角三角形两条直角边的长度分别为、；
∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．