【题目】已知函数(
),若有且仅有两个整数
,使得
,则
的取值范围为
A. [) B. [
) C. [
) D. [
)
【答案】D
【解析】
设g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,对g(x)求导,将问题转化为存在2个整数xi使得g(xi)在直线h(x)=ax﹣a的下方,求导数可得函数的极值,解g(﹣1)﹣h(﹣1)<0,g(﹣2)﹣h(﹣2)≥0,求得a的取值范围.
设g(x)=ex(3x﹣1),h(x)=ax﹣a,
则g′(x)=ex(3x+2),
∴x∈(﹣∞,﹣),g′(x)<0,g(x)单调递减,
x∈(﹣,+∞),g′(x)>0,g(x)单调递增,
∴x=﹣,取最小值
,
∴g(0)=﹣1<﹣a=h(0),
g(1)﹣h(1)=2e>0,
直线h(x)=ax﹣a恒过定点(1,0)且斜率为a,
∴g(﹣1)﹣h(﹣1)=﹣4e﹣1+2a<0,
∴a<,
g(﹣2)=﹣,h(﹣2)=﹣3a,
由g(﹣2)﹣h(﹣2)≥0,解得:a≥,
故答案为:[).
故选:D.
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【题目】已知双曲线(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,过F2的直线交双曲线的右支于P,Q两点,若|PF1|=|F1F2|,且3|PF2|=2|QF2|,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B.
C. 2 D.
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【题目】古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,例如:
他们研究过图1中的1,3,6,10,…,由于这些数能够表示成三角形,将其称为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,…这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是
A. 289 B. 1 024 C. 1 225 D. 1 378
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【题目】某研究机构对某校高二文科学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,得下表数据.
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)请画出上表数据的散点图;
(2)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程;
(3)试根据(2)中求出的线性回归方程,预测记忆力为14的学生的判断力.
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【题目】在直角坐标系中,直线
的参数方程为
.在极坐标系(与直角坐标系
取相同的长度单位,且以原点
为极点,以
轴正半轴为极轴)中,圆
的方程为
.
(1)求圆的直角坐标方程和直线
普通方程;
(2)设圆与直线
交于点
,若点
的坐标为
,求
的值.
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【题目】高中生在被问及“家,朋友聚集的地方,个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里?”这个问题时,从中国某城市的高中生中,随机抽取了55人,从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是:选择家的占、朋友聚集的地方占
、个人空间占
.美国高中生答题情况是:朋友聚集的地方占
、家占
、个人空间占
.如下表:
在家里最幸福 | 在其它场所幸福 | 合计 | |
中国高中生 | |||
美国高中生 | |||
合计 |
(Ⅰ)请将列联表补充完整;试判断能否有
的把握认为“恋家”与否与国别有关;
(Ⅱ)从被调查的不“恋家”的美国学生中,用分层抽样的方法选出4人接受进一步调查,再从4人中随机抽取2人到中国交流学习,求2人中含有在“个人空间”感到幸福的学生的概率.
附:,其中
.
0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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【题目】如图,点P(0,﹣1)是椭圆C1:+
=1(a>b>0)的一个顶点,C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径,l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A、B两点,l2交椭圆C1于另一点D.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)求△ABD面积的最大值时直线l1的方程.
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【题目】(1)椭圆C:+
=1(a>b>0)与x轴交于A、B两点,点P是椭圆C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,求证:
为定值b2﹣a2.
(2)由(1)类比可得如下真命题:双曲线C:=1(a>0,b>0)与x轴交于A、B两点,点P是双曲线C上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别与y轴交于点M、N,则
为定值.请写出这个定值(不要求给出解题过程).
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