Question

设函数f（x）=x²+aln（1+x）有两个极值点s，t，且s＜t．
（1）求a的取值范围，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：f(t)＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+aln（1+x），知f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

，x＞-1．令g（x）=2x²+2x+a，其对称轴为x=-

1

2

，由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，由此能够讨论f（x）的单调性．
（2）由题设和（1）知：g（0）=a＞0，故-

1

2

＜t＜0，由g（t）=0，知a=-2t²-2t=-2t（1+t），故f（t）=t²-2t（1+t）ln（n+t），设h（x）=x2-2x(1+x)ln(1+x)，(x≥-

1

2

)，由此能够证明f(t)＞

1-2ln2

4

．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

，x＞-1．
令g（x）=2x²+2x+a，
其对称轴为x=-

1

2

，
由题意知s，t是方程g（x）=0的两个均大于-1的不相等的实根，
∴

△=4-8a＞0 g(-1)＞0

，解得0＜a＜

1

2

．
当x∈（-1，s）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（-1，s）上为增函数，
当x∈（s，t）时，f′（x）＞0，此时f（x）在（t，+∞）上为增函数．
（2）证明：由题设和（1）知：g（0）=a＞0，
∴-

1

2

＜t＜0，
∵g（t）=0，
∴a=-2t²-2t=-2t（1+t），
∴f（t）=t²+aln（1+t）
=t²-2t（1+t）ln（n+t），
设h（x）=x2-2x(1+x)ln(1+x)，(x≥-

1

2

)
则h′（x）=-2（2x+1）ln（1+x），

当x∈[-

1

2

，0)时，h′（x）≥0，
∴h（x）在x∈[-

1

2

，0)上单调递增．
当-

1

2

＜x＜0时，
h（x）＞h（-

1

2

）=

1-2ln2

4

，
∴f(t)=h(t)＞

1-2ln2

4

．

点评：本题考查函数的单调性的讨论，考查不等式的证明．考查函数知识、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．