Question

设命题p：关于x的方程4x²+4（a-2）x+1=0有实数根；命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R．若“p或q”为真，“p且q”为假，求a的取值范围．

Answer 1

解：若命题p：关于x的方程4x²+4（a-2）x+1=0有实数根为真命题，则△=[4（a-2）]²-4×4×1≥0，
即a≤1或a≥3，所以，是命题p为真命题的a的取值范围是{a|a≤1或a≥3}；
使命题p为假命题的实数a的取值范围是{a|1＜a＜3}；
若命题q：函数y=lg（ax²-x+a）的定义域是R为真，则，解得：a＞．
所以，使命题q为真命题的a的取值范围是{a|a＞}；
使命题q为假命题的实数a的取值范围是{a|}；
由“p或q”为真，“p且q”为假，得：p真q假或p假q真，
若p真q假，则a的取值范围是{a|a≤1或a≥3}∩{a|}={a|}；
若p假q真，则a的取值范围是{a|1＜a＜3}∩{a|a＞}={a|1＜a＜3}．
综上，使“p或q”为真，“p且q”为假的a的取值范围是（-∞，]∪（1，3）．
分析：根据命题p和q的真假，求出对应的实数a的取值范围，然后由“p或q”为真，“p且q”为假得到p真q假和p假q真两种情况，把两种情况求得的a的范围取并集．
点评：本题考查了复合命题的真假判断，考查了数学转化思想，解答此题的关键是把命题的真假转化为求集合的交集问题，是中档题．