Question

将4个半径都是的球体完全装入底面半径是的圆柱形桶中，则桶的最小高度是     ．

Answer 1

本题考查了，空间位置关系与距离，做题时要弄请存在的等量关系
由题意知，小球要分两层放置且每层两个，令下层两小球的球心分别是A、B，上层两小球的球心分别是C、D．此时，圆柱底面的半径=两小球半径的和，恰好使小球相外切，且与圆柱母线相切．圆柱的高=上层小球的上方半径+AB与CD间的距离+下层小球的下方半径=2R+AB与CD间的距离．令AB、CD的中点分别为E、F．很明显，四面体ABCD每条棱的长都是2R，容易求出：EC=ED、FA=FB，由EC=ED、CF=DF，得：EF⊥CD．由FA=FB、AE=BE，得：EF⊥AB．∴EF是AB与CD间的距离，∴圆柱的高=2R+EF．由勾股定理，有：CE²+AE²=AC²，CE²=EF²+CF²．两式相减，消去CE，得：AE²=AC²-EF²-CF²，∴EF²=AC²-AE²-CF²=（2R）²-R²-R²=2R²，∴EF=R．∴圆柱的高=2r+R=（2+）R．故答案为（2+）R．
解决该试题的关键弄清桶的取最小高度时，四个球如何放置．由题意知，小球要分两层放置且每层两个，则四个球心构成正四面体，并可求出相对棱的距离．很明显，圆柱的高=上层小球的上方半径R+相对棱间的距离+下层小球的下方半径R．