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已知抛物线x2=2py的焦点与双曲线2y2-2x2=1的一个焦点重合,若过该抛物线上的一点B的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
1
2
,求B纵坐标.
考点:抛物线的简单性质
专题:计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析:求出双曲线的焦点,即为抛物线的焦点,进而得到抛物线方程,再由导数的几何意义,求出导数,求出切线的斜率,求出切线方程,分别得到与x,y轴的交点,运用三角形的面积公式,解方程即可得到B的纵坐标.
解答: 解:双曲线2y2-2x2=1即
y2
1
2
-
x2
1
2
=1的焦点为(0,±1),
抛物线x2=2py的焦点为(0,
p
2
),
p
2
=±1,即有p=±2.
则抛物线方程为x2=±4y,
若为x2=4y,则设B(m,
m2
4
),
由y′=
1
2
x,则切线的斜率为k=
1
2
m,
切线方程为y-
1
4
m2=
1
2
m(x-m),
令x=0可得y=-
1
4
m2,令y=0,则x=
1
2
m,
则围成的三角形的面积为
1
2
,可得
1
2
•|
1
2
m|•|-
1
4
m2|=
1
2

解得m=±2,
则B的纵坐标为1;
若抛物线方程为x2=-4y,
同样方法,可得B的纵坐标为-1.
点评:本题考查抛物线的方程的运用,考查导数的运用:求切线方程,考查三角形的面积公式,考查运算能力,属于基础题.
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3
4
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2
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3
8
B、-
3
8
C、
3
7
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D、-
3
7
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=
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=
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OO′
=
c
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a
b
c
表示向量
OG
,则
OG
等于(  )
A、
a
+
1
2
b
+
1
2
c
B、
1
2
a
+
1
2
b
+
c
C、
1
2
a
+
b
+
1
2
c
D、
1
2
a
+
b
-
1
2
c

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MA
+
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+
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ME
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0
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1
3
,他连续测试5次,那么其中恰有2次获得通过的概率是(  )
A、
80
243
B、
40
243
C、
8
243
D、
2
15

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