Question

己知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率e=

2 3

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）求过双曲线左焦点F₁，倾斜角为

π

4

的直线被双曲线所截得的弦长．

Answer 1

分析：（1）利用双曲线离心率e=

2 3

3

，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为

3

2

，建立方程组，求出几何量，即可求双曲线的方程；
（2）设出直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理，即可求弦长．

解答：解：（1）由题设，得

e2=1+ b2 a2 = 4 3 ab a2+b2 = 3 2

，解得a²=3，b²=1        
∴双曲线的方程为

x2

3

-y2=1．…3分
（2）由（1）知过F₁的直线方程是y=x+2，与

x2

3

-y2=1联立消去y，得2x²+12x+15=0．
∴x₁+x₂=-6，x₁x₂=

15

2

．
∴弦长=

2

•

62-4× 15 2

=2

3

．…12分．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．