Question

对?a、b∈R，定义运算“?”、“⊕”为：a?b=

a (a≥b)  b (a＜b)

a⊕b=

a (a＜b)  b (a≥b)

给出下列各式
①（sinx?cosx）+（sinx⊕cosx）=sinx+cosx，②（2^x?x²）-（2^x⊕x²）=2^x-x²，
③（sinx?cosx）•（sinx⊕cosx）=sinx•cosx，④（2^x?x²）÷（2^x⊕x²）=2^x÷x²．
其中等式恒成立的是

 

．（将所有恒成立的等式的序号都填上）

Answer 1

分析：利用新定义的函数概念化简所给式子的左边得出：①当sinx≥cosx时，当sinx＜cosx时，证得①成立；同理③也成立；②取特殊值：当x=2时，证得：2^x?x²）-（2^x⊕x²）=2^x-x²≠2^x-x²，故错；同理④错．

解答：解：①当sinx≥cosx时，sinx?cosx=sinx，sinx⊕cosx=cosx，故（sinx?cosx）+（sinx⊕cosx）=sinx+cosx，
当sinx＜cosx时，sinx?cosx=cosx，sinx⊕cosx=sinx，故（sinx?cosx）+（sinx⊕cosx）=sinx+cosx，故正确；
同理③也成立；
②当x=2时，2^x?x²=x²，2^x⊕x²=2^x
∴（2^x?x²）-（2^x⊕x²）=x²-2^x≠2^x-x²，故错；
同理④错．
故答案为：①③．

点评：当遇到函数创新应用题型时，处理的步骤一般为：化简解析式，求函数解析式的最简形式．