Question

已知抛物线C：x²=4y，其焦点为F，点M在抛物线C上．
（Ⅰ）当|MF|=3时，求点M的坐标；
（Ⅱ）以M为圆心且过定点A（0，t）的圆与x轴交于P、Q两点．已知当M运动时，弦长|PQ|始终为定值，求实数t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（I）由|MF|=3，利用焦点弦长公式可得y_M+1=3，解出即可．
（II）设M(a，

a2

4

)，则⊙M的方程为：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-t)2，令y=0，化为2x²-4ax+at²-2t²=0，利用根与系数的关系可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4t2+(4-2t)a2

，令4-2t=0，解得t即可得出．

解答： 解：（I）∵|MF|=3，∴y_M+1=3，解得y_M=2，∴x_M=±2

2

．
∴M(±2

2

，2)．
（II）设M(a，

a2

4

)，P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
则⊙M的方程为：(x-a)2+(y-

a2

4

)2=a2+(

a2

4

-t)2，
令y=0，化为2x²-4ax+at²-2t²=0，
则x₁+x₂═2a，x₁x₂=

at2-2t2

2

．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

4t2+(4-2t)a2

，
令4-2t=0，解得t=2，此时|PQ|=|x₁-x₂|=4为定值．
∴t=2．

点评：本题考查了圆与抛物线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、弦长公式、定值问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题．