Question

【题目】已知数列{an}的首项a1=a，Sn是数列{an}的前n项和，且满足：Sn2=3n2an+Sn﹣12 ， an≠0，n≥2，n∈N* ．
（1）若数列{an}是等差数列，求a的值；
（2）确定a的取值集合M，使a∈M时，数列{an}是递增数列．

Answer 1

【答案】
（1）解：在 =3n2an+ 中分别令n=2，n=3，及a1=a

得（a+a2）2=12a2+a2，（a+a2+a3）2=27a3+（a+a2）2，

因为an≠0，所以a2=12﹣2a，a3=3+2a．

因为数列{an}是等差数列，所以a1+a3=2a2，

即2（12﹣2a）=a+3+2a，解得a=3．）

经检验a=3时，an=3n，Sn= ，Sn﹣1=

满足 =3n2an+ ．

（2）解：由 =3n2an+ ，得 ﹣ =3n2an，

即（Sn+Sn﹣1）（Sn﹣Sn﹣1）=3n2an，

即（Sn+Sn﹣1）an=3n2an，因为an≠0，

所以Sn+Sn﹣1=3n2，（n≥2），①

所以Sn+1+Sn=3（n+1）2，②

②﹣①，得an+1+an=6n+3，（n≥2）．③

所以an+2+an+1=6n+9，④

④﹣③，得an+2﹣an=6，（n≥2）

即数列a2，a4，a6，…，及数列a3，a5，a7，…都是公差为6的等差数列，

因为a2=12﹣2a，a3=3+2a．

∴an=

要使数列{an}是递增数列，须有a1＜a2，且当n为大于或等于3的奇数时，an＜an+1，

且当n为偶数时，an＜an+1，即a＜12﹣2a，

3n+2a﹣6＜3（n+1）﹣2a+6（n为大于或等于3的奇数），

3n﹣2a+6＜3（n+1）+2a﹣6（n为偶数），

解得 ＜a＜ ．

所以M=（ ， ），当a∈M时，数列{an}是递增数列

【解析】（1）分别令n=2，n=3，及a1=a，结合已知可由a表示a2 ， a3 ， 结合等差数列的性质可求a，（2）由 =3n2an+ ，得 ﹣ =3n2an ， 两式相减整理可得所以Sn+Sn﹣1=3n2 ， 进而有Sn+1+Sn=3（n+1）2 ， 两式相减可得数列的偶数项和奇数项分别成等差数列，结合数列的单调性可求a
【考点精析】通过灵活运用等差关系的确定，掌握如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么这个数列就叫做等差数列即可以解答此题．