Question

已知点A是椭圆C：

x2

9

+

y2

t

=1(t＞0)的左顶点，直线l：x=my+1（m∈R）与椭圆C相交于E，F两点，与x轴相交于点B．且当m=0时，△AEF的面积为

16

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线AE，AF与直线x=3分别交于M，N两点，试判断以MN为直径的圆是否经过点B？并请说明理由．

Answer 1

分析：（1）m=0时直线l的方程与椭圆方程联立解得E，F坐标，从而可表示出|EF|的长，根据，△AEF的面积为

16

3

得到关于t的方程，解出即可．
（2）由

x2 9 + y2 2 =1 x=my+1

消x得到关于y的一元二次方程，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），由韦达定理可用m表示y₁，y₂，根据已知条件可求出M，N坐标，判断以MN为直径的圆是否经过点B，只需判断是否有

BM

⊥

BN

，进而转化为是否有

BM

•

BN

=0，通过计算即可验证．

解答：解：（1）当m=0时，直线l的方程为x=1，设点E在x轴上方，
由

x2 9 + y2 t =1 x=1

解得E(1，

2 2t

3

)，F(1，-

2 2t

3

)，所以|EF|=

4 2t

3

．
左顶点为（-3，0），
因为△AEF的面积为

1

2

×4×

4 2t

3

=

16

3

，解得t=2．
所以椭圆C的方程为

x2

9

+

y2

2

=1．
（2）由

x2 9 + y2 2 =1 x=my+1

得（2m²+9）y²+4my-16=0，显然m∈R．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），
则y1+y2=

-4m

2m2+9

，y1y2=

-16

2m2+9

，x₁=my₁+1，x₂=my₂+1．
又直线AE的方程为y=

y1

x1+3

(x+3)，
由

y= y1 x1+3 (x+3) x=3

解得M(3，

6y1

x1+3

)，同理得N(3，

6y2

x2+3

)．
所以

BM

=(2，

6y1

x1+3

)，

BN

=(2，

6y2

x2+3

)，
又因为

BM

•

BN

=(2，

6y1

x1+3

)•(2，

6y2

x2+3

)=4+

36y1y2

(x1+3)(x2+3)

=4+

36y1y2

(my1+4)(my2+4)

=

4(my1+4)(my2+4)+36y1y2

m2y1y2+4m(y1+y2)+16

=

-16(4m2+36)-16×4m2+16×4(2m2+9)

-32m2+16(2m2+9)

=

-64m2-576-64m2+128m2+576

9

=0．
所以

BM

⊥

BN

，所以以MN为直径的圆过点B．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆的标准方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性较强，有一定难度．