Question

已知向量

m

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

n

=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且

m

⊥

n

，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为

3

2

π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设α是第一象限角，且f（

3

2

α+

π

2

）=

23

26

，求

sin(α+ π 4 )

cos(4π+2α)

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）由两向量的坐标，利用两向量垂直时的条件列出关系式，整理后根据题意得出周期，利用周期公式求出ω的值即可；
（Ⅱ）由ω的值确定出f（x）解析式，化简已知等式求出cosα的值，进而求出sinα的值，原式化简后代入计算即可求出值．

解答： 解：（Ⅰ）∵向量

m

=（-1，cosωx+

3

sinωx），

n

=（f（x），cosωx），且

m

⊥

n

，
∴

m

•

n

=0，
∴f（x）=cosωx（cosωx+

3

sinωx）=

1

2

（1+cos2ωx+

3

sinωx）=sin（2ωx+

π

6

）+

1

2

，
根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，
则ω=

1

3

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（

2

3

x+

π

6

）+

1

2

，
∴f（

3

2

α+

π

2

）=sin（α+

π

2

）+

1

2

=cosα+

1

2

=

23

26

，
解得：cosα=

5

13

，
∵α是第一象限角，∴sinα=

12

13

，
则原式=

sin(α+ π 4 )

cos2α

=

2 2 (sinα+cosα)

(cosα+sinα)(cosα-sinα)

=

2

2(cosα-sinα)

=-

13 2

14

．

点评：此题考查了平面向量的数量积运算，两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．