Question

已知向量

a

=(m，n)，

b

=(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R，若|

a

|=4|

b

|，则当

a

•

b

＜λ2恒成立时实数λ的取值范围是

λ＞2或λ＜-2

．

Answer 1

分析：由已知中

b

=(cosθ，sinθ)，我们可以得到|

b

|=1，再由|

a

|=4|

b

|可设

a

=(4sinα，4cosα)，代入平面向量数量积的坐标运算公式，求出

a

•

b

的取值范围，结合函数恒成立的条件，可以得到一个关于λ的不等式，解不等式即可得到实数λ的取值范围．

解答：解：∵

b

=(cosθ，sinθ)，|

a

|=4|

b

|，
∴设

a

=(4sinα，4cosα)
则

a

•

b

=4sinα•cosθ+4cosα•sinθ=4sin（α+θ）∈[-4，4]
若

a

•

b

＜λ2恒成立
则λ²＞4
解得λ＞2或λ＜-2
故答案为：λ＞2或λ＜-2．

点评：本题考查的知识点是平面向量数量积的运算、函数恒成立问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．