Question

2．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
（4）求二面角C-GH-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直；
（2）利用线线平行证明GH∥平面AEF，OH∥平面AEF．由面面平行的判定定理可证面面平行；
（3）把多面体分割成四棱锥A-BDEF和四棱锥C-BDEF，分别求出体积，再求和．
（4）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法进行求解即可．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD．
又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，
且AC?平面ABCD，
∴AC⊥平面BDEF；
（2）在△CEF中，
∵G、H分别是CE、CF的中点，
∴GH∥EF，
又∵GH?平面AEF，EF?平面AEF，
∴GH∥平面AEF，
设AC∩BD=O，连接OH，在△ACF中，
∵OA=OC，CH=HF，
∴OH∥AF，
又∵OH?平面AEF，AF?平面AEF，
∴OH∥平面AEF．
又∵OH∩GH=H，OH、GH?平面BDGH，
∴平面BDGH∥平面AEF．
解：（3）由（1），得 AC⊥平面BDEF，
又∵AO=$\sqrt{2}$，四边形BDEF的面积S=3×$2\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$，
∴四棱锥A-BDEF的体积V₁=$\frac{1}{3}$×AO×S=4，
同理，四棱锥C-BDEF的体积V₂=4．
∴多面体ABCDEF的体积V=8．
（4）建立以D为坐标原点，DA，DC，DE分别为x，y，z轴的空间直角坐标系如图：
∵BF=3，底面ABCD是边长为2的正方形，
∴D（0，0，0），B（2，2，2），C（0，2，0）．E（0，0，3），F（2，2，3），
G（0，1，$\frac{3}{2}$），H（1，2，$\frac{3}{2}$），
则$\overrightarrow{GH}$=（1，1，0），$\overrightarrow{CH}$=（1，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{BH}$=（-1，0，-$\frac{1}{2}$），
设面CGH的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{GH}$=x+y=0，$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CH}$=x+$\frac{3}{2}$z=0，
令z=2，则x=-3，y=3，即$\overrightarrow{m}$=（-3，3，2），
设平面GHB的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{GH}$=x+y=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BH}$=-x-$\frac{1}{2}$z=0，
令z=2，则x=-1，y=1，即$\overrightarrow{n}$=（-1，1，2），
$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+3+4}{\sqrt{9+9+4}•\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{10}{\sqrt{22}•\sqrt{6}}$=$\frac{5\sqrt{33}}{33}$，
即二面角C-GH-B的余弦值是$\frac{5\sqrt{33}}{33}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质，面面平行的判定，考查了用分割法求多面体的体积，二面角的求解，建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决空间角常用的方法，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力．