分析 (1)由面面垂直的性质可证AC与平面BDEF垂直;
(2)利用线线平行证明GH∥平面AEF,OH∥平面AEF.由面面平行的判定定理可证面面平行;
(3)把多面体分割成四棱锥A-BDEF和四棱锥C-BDEF,分别求出体积,再求和.
(4)建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法进行求解即可.
解答 证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
又∵平面BDEF⊥平面ABCD,平面BDEF∩平面ABCD=BD,
且AC?平面ABCD,
∴AC⊥平面BDEF;
(2)在△CEF中,
∵G、H分别是CE、CF的中点,
∴GH∥EF,
又∵GH?平面AEF,EF?平面AEF,
∴GH∥平面AEF,
设AC∩BD=O,连接OH,在△ACF中,
∵OA=OC,CH=HF,
∴OH∥AF,
又∵OH?平面AEF,AF?平面AEF,
∴OH∥平面AEF.
又∵OH∩GH=H,OH、GH?平面BDGH,
∴平面BDGH∥平面AEF.
解:(3)由(1),得 AC⊥平面BDEF,
又∵AO=$\sqrt{2}$,四边形BDEF的面积S=3×$2\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$,
∴四棱锥A-BDEF的体积V1=$\frac{1}{3}$×AO×S=4,
同理,四棱锥C-BDEF的体积V2=4.
∴多面体ABCDEF的体积V=8.
(4)建立以D为坐标原点,DA,DC,DE分别为x,y,z轴的空间直角坐标系如图:
∵BF=3,底面ABCD是边长为2的正方形,
∴D(0,0,0),B(2,2,2),C(0,2,0).E(0,0,3),F(2,2,3),
G(0,1,$\frac{3}{2}$),H(1,2,$\frac{3}{2}$),
则$\overrightarrow{GH}$=(1,1,0),$\overrightarrow{CH}$=(1,0,$\frac{3}{2}$),$\overrightarrow{BH}$=(-1,0,-$\frac{1}{2}$),
设面CGH的法向量为$\overrightarrow{m}$=(x,y,z),
由$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{GH}$=x+y=0,$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{CH}$=x+$\frac{3}{2}$z=0,
令z=2,则x=-3,y=3,即$\overrightarrow{m}$=(-3,3,2),
设平面GHB的法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
由$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{GH}$=x+y=0,$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{BH}$=-x-$\frac{1}{2}$z=0,
令z=2,则x=-1,y=1,即$\overrightarrow{n}$=(-1,1,2),
$cos<\overrightarrow{m},\overrightarrow{n}>$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3+3+4}{\sqrt{9+9+4}•\sqrt{1+1+4}}$=$\frac{10}{\sqrt{22}•\sqrt{6}}$=$\frac{5\sqrt{33}}{33}$,
即二面角C-GH-B的余弦值是$\frac{5\sqrt{33}}{33}$.
点评 本题考查了面面垂直的性质,面面平行的判定,考查了用分割法求多面体的体积,二面角的求解,建立空间坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决空间角常用的方法,考查了学生的空间想象能力与推理论证能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{11}$ | B. | $\frac{1}{10}$ | C. | 11 | D. | 10 |
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | a=1,b=2,n=6 | B. | a=-1,b=-2,n=5 | C. | a=2,b=-1,n=6 | D. | a=1,b=2,n=5 |
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