Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，其中F₁（-2

5

，0），P为C上一点，满足|OP|=|OF₁|且|PF₁|=4，则椭圆C的方程为（　　）

• A、

  x2

  25

  +

  y2

  5

  =1
• B、

  x2

  30

  +

  y2

  10

  =1
• C、

  x2

  36

  +

  y2

  16

  =1
• D、

  x2

  45

  +

  y2

  25

  =1

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：第一步：由|OP|=|OF₁|及椭圆的对称性知，△PF₁F₂为直角三角形；
第二步：由勾股定理，得|PF₂|；
第三步：由椭圆定义，得a；
第四步：由b²=a²-c²，得b²；
第五步：根据椭圆标准方程的形式，直接写出椭圆的方程．

解答： 解：设椭圆的焦距为2c，连接PF₂，如右图所示．
由F（-2

5

，0），得c=2

5

，
又由|OF₁|=|OF₂|知，PF₁⊥PF₂，
在△PF₁F₂中，由勾股定理，得|PF₂|=

|F1F2|2-|PF1|2|

=

(4 5 )2-42

=8，
由椭圆定义，得|PF₁|+|PF₂|=2a=4+8=12，从而a=6，得a²=36，
于是b2=a2-c2=36-(2

5

)2=16，
所以椭圆的方程为

x2

36

+

y2

16

=1．
故选：C．

点评：本题主要考查了椭圆的定义及其几何特征，对于椭圆标准方程的求解，关键是根据题设或图形的几何特征，列出关于a，b，c，的三个方程，这样才能确定a²，b²．