Question

如图，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的顶点为A₁，A₂，B₁，B₂．焦点为F₁，F₂，|F₁F₂|=2c，向量

A1B1

在向量

A1A2

上的投影为2，且椭圆上的点到焦点距离的最小值
为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）是否存在同时满足以下条件的直线：①与椭圆相交于M，N两点，以线段MN为直径的圆过原点；
②与圆心在原点，半径为c的圆相切；若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题设条件，利用向量

A1B1

在向量

A1A2

上的投影为2，且椭圆上的点到焦点距离的最小值为1，求出a=2，c=1，由此能求出椭圆方程．
（2）假设满足题设的直线l存在，设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），当l不垂直于x轴时，设l方程为y=kx+m，直线与x²+y²=1相切，由题设条件得到不存在这样的实数k，此直线l不存在．当l垂直于x轴时，直线l的方程为x=1或x=-1，推出此直线l也不存在．

解答：解：（1）A₁（-a，0），B₁（0，b），A₂（a，0），
∴

A1B1

 =（a，b），

A1A2

=（2a，0），
∴

A1B1 • A1A2

| A1A2 |

=2=

2a2

2a

=a，
∴a=2．（2分）
又a-c=1，∴c=1，
b²=a²-c²=3，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1．（5分）
（2）假设满足题设的直线l存在，设M，N两点坐标分别为（x₁，y₁），（x₂，y₂），
①当l不垂直于x轴时，设l方程为y=kx+m，
直线与x²+y²=1相切，
∴

|m|

k2+1

=1，即m²=k²+1．
又以MN为直径的圆过原点，
∴OM⊥ON，∴x₁x₂+y₁y₂=0，（7分）
奖y=kx+m代入椭圆方程，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
∴x1+x2=

-8km

3+4k2

，x1x2=

4m2-12

3+4k2

，
∴x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）
=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0，
∴（1+k²）（4m²-12）-8k²m²+m²（3+4k²）=0，
将m²=1+k²代入，得-5（k²+1）=0，即不存在这样的实数k，
∴此直线l不存在．（10分）
②当l垂直于x轴时，直线l的方程为x=1或x=-1，
当x=1时，直线l与椭圆的交点为（1，

3

2

）和（1，-

3

2

），

OM

•

ON

=1-

9

4

≠0．（11分）
当x=-1时，同理，得

.

OM

•

ON

≠0，即此直线l也不存在．
综上，满足条件的直线l不存在．（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，判断直线l是否存在．考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．