Question

设m、k为整数，方程mx²-kx+3=0在区间（0，1）内有两个不同的实根，则m+k的最小值为（　　）

A．-8

B．8

C．13

D．18

Answer 1

分析：设函数f（x）=mx²-kx+3，利用条件方程mx²-kx+3=0在区间（0，1）内有两个不同的实根，得到函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点，根据二次函数根的分布进行求解即可．

解答：解：∵方程mx²-kx+3=0，
∴设函数f（x）=mx²-kx+3，则f（0）=3＞0，
∵方程mx²-kx+3=0在区间（0，1）内有两个不同的实根，
∴函数f（x）在区间（0，1）内有两个不同的零点．且m＞0．
即m＞0时，

△=k2-12m＞0 f(0)＞0 f(1)＞0 0＜- -k 2m ＜1

，即

k2-12m＞0 m-k+3＞0 0＜k＜2m

．
设z=m+k，
则k=-m+z，
设x=m，y=k，
则不等式组为

y2-12x＞0 x-y+3＞0 0＜y＜2x

，
当x=7时，不等式组为

y2＞84 y＜10 y＜14

，此时不等式组无解．
当x=8时，不等式组为

y2＞96 y＜11 y＜16

，此时y=10．

当x=9时，不等式组为

y2＞108 y＜12 y＜18

，此时y=11．
∴当x=8，y=10时，x+y=18最小．
故m+k的最小值18，
故选：D．

点评：本题考查了二次函数与二次方程之间的联系，解答要注意几个关键点：（1）将一元二次方程根的分布转化一元二次函数的图象与x轴的交点来处理；（2）将根据不等式组求两个变量的最值问题处理为规划问题；（3）作出不等式表示的平面区域时注意各个不等式表示的公共区域；（4）不可忽视求得最优解是整点．