Question

【题目】已知a，b，x，y∈R，证明：（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2 ， 并利用上述结论求（m2+4n2）（ + ）的最小值（其中m，n∈R且m≠0，n≠0）．

Answer 1

【答案】证明：∵b2x2+a2y2≥2abxy，
∴a2x2+b2y2+b2x2+a2y2≥a2x2+b2y2+2abxy，
即（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
由不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立，
知（m2+4n2）（ + ）
当且仅当m2=n2时，等号成立，
即（m2+4n2）（ + ）的最小值为25
【解析】把 b2x2+a2y2≥2abxy 的两边同时加上a2x2+b2y2 ， 即可得到（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2成立．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用基本不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：．