Question

10．在数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=2a_n²．又b_n=log₂a_n．
（1）求证：数列{b_n+1}是等比数列；
（2）设c_n=nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=2，a_n+1=2a_n²＞0，两边取对数可得log₂a_n+1=1+2log₂a_n，变形为log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1），即b_n+1+1=2（b_n+1），即可证明；
（2）由（1）可得：b_n+1=2ⁿ，c_n=nb_n=n2ⁿ-n．利用“错位相减法、等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 （1）证明：∵a₁=2，a_n+1=2a_n²＞0，
∴log₂a_n+1=1+2log₂a_n，
变形为log₂a_n+1+1=2（log₂a_n+1），
又b_n=log₂a_n，b_n+1=log₂a_n+1．
∴b_n+1+1=2（b_n+1），
∴数列{b_n+1}是等比数列，首项为2，公比为2．
（2）由（1）可得：b_n+1=2ⁿ，
∴b_n=2ⁿ-1．
c_n=nb_n=n2ⁿ-n．
令数列{n•2ⁿ}的前n项和为H_n．
则H_n=2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2H_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-H_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴H_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．
∴数列{c_n}的前n项和T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2-$\frac{n（n+1）}{2}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．