Question

14．已知A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，其中a＞0，b＞0，则a与b的关系式为2a+b=1，$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$的最小值是8．

Answer 1

分析 由于A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，可得k_AB=k_AC，化为2a+b=1．由于a＞0，b＞0，可得$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵A（1，-2），B（a，-1），C（-b，0）三点共线，
∴k_AB=k_AC，
∴$\frac{-1+2}{a-1}=\frac{2}{-b-1}$，
化为2a+b=1．
∵a＞0，b＞0，
∴$\frac{1}{a}$+$\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}+\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=8，当且仅当b=2a=$\frac{1}{2}$时取等号．
故答案分别为：2a+b=1；8．

点评 本题考查了基本不等式的性质、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．