Question

【题目】如图，已知抛物线，设直线经过点且与抛物线相交于两点，抛物线在、两点处的切线相交于点，直线，分别与轴交于、两点.

（1）求点的轨迹方程

（2）当点不在轴上时，记的面积为，的面积为，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）4

【解析】

（1）首先设出，，利用导数的几何意义求出切线，的方程，联立得到交点的坐标.再设出直线的方程为，代入抛物线，利用根系关系即可得到点的轨迹方程.

（2）首先根据切线，的方程得到，，从而得到，.利用弦长公式和点到直线的距离公式得到，从而得到.令，得到，再利用基本不等式即可得到的最值.

（1）因为抛物线，所以，.

设，，，.

则切线，的方程分别为和.

联立解得交点的坐标为:，.

设直线的方程为，代入，

整理得：，

所以，，且.

所以，，于是，

故点的轨迹方程为.

（2）因为切线的方程为，

令得到，同理：.

所以.

又，故.

由（1）可知，

又点到直线的距离为，

所以.

所以.

令，，则.

①当时，，当且仅当时取“”.

所以；

②当时，

，，，

当且仅当时取“”.

所以；

综上所述：的最小值为.