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动点P与点F(1,0)的距离和它到直线l:x=-1的距离相等,记点P的轨迹为曲线C1.圆C2的圆心T是曲线C1上的动点,圆C2与y轴交于M,N两点,且|MN|=4.
(1)求曲线C1的方程;
(2)设点A(a,0)(a>2),若点A到点T的最短距离为a-1,试判断直线l与圆C2的位置关系,并说明理由.
【答案】分析:(1)设动点P的坐标为(x,y),依题意,得,由此能得到曲线C1的方程.
(2)设点T的坐标为(x,y),圆C2的半径为r,点T是抛物线C1:y2=4x上的动点,y2=4x(x≥0).==
∵a>2,∴a-2>0,则当x=a-2时,|AT|取得最小值为,由此入手能够判断判断直线l与圆C2的位置关系.
解答:解:(1)设动点P的坐标为(x,y),依题意,得|PF|=|x+1|,
,(2分)
化简得:y2=4x,
∴曲线C1的方程为y2=4x.(4分)
(2分)
∴曲线C1的方程为y2=4x.(4分)
(2)设点T的坐标为(x,y),圆C2的半径为r,
∵点T是抛物线C1:y2=4x上的动点,
∴y2=4x(x≥0).
(6分)
==
∵a>2,∴a-2>0,则当x=a-2时,|AT|取得最小值为,(8分)
依题意得=a-1,
两边平方得a2-6a+5=0,
解得a=5或a=1(不合题意,舍去).(10分)
∴x=a-2=3,y2=4x=12,即
∴圆C2的圆心T的坐标为(3,±2).
∵圆C2与y轴交于M,N两点,且|MN|=4,

.(12分)
∵点T到直线l的距离
∴直线l与圆C2相离.(14分)
点评:本题考查圆的性质和综合应用,解题时要认真审题,注意解答,合理进行等价转化.
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