Question

经过抛物线y²=4x的焦点F的直线l与该抛物线交于A、B两点．
（1）若线段AB的中点为M（x，y），直线的斜率为k，试求点M的坐标，并求点M的轨迹方程
（2）若直线l的斜率k＞2，且点M到直线3x+4y+m=0的距离为

1

5

，试确定m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-1）（k≠0），联立直线与曲线方程可求x₁+x₂，代入可求y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=

4

k

，由中点坐标公式可求点M的坐标，消去k可求点M的轨迹方程
（2）由点到直线的距离公式可得d=

|3× k2+2 k2 +4× 2 k +m|

5

=

1

5

，整理可得

6

k 2

+

8

k

=±1-3-m，解已知k＞2可求m的范围

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：y=k（x-1）（k≠0）
把y=k（x-1）代入y²=4x
得：k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∴x1+x2=

2k2+4

k2

∴y1+y2=k(x1-1)+k(x2-1)=

4

k

∴

x= x 1+x2 2 = k2+2 k2 y= y1+y2 2 = 2 k

∴点M的坐标为M(

k2+2

k2

，

2

k

)；
消去k可得点M的轨迹方程为：y²=2x-2（x＞0）；
（2）∵d=

|3× k2+2 k2 +4× 2 k +m|

5

=

1

5

∴|3+

6

k 2

+

8

k

+m|=1
∴3+

6

k 2

+

8

k

+m=±1
∴

6

k 2

+

8

k

=±1-3-m
∵k＞2
∴0＜

6

k2

＜

3

2

，0＜

8

k

＜4
∴0＜

6

k 2

+

8

k

＜

11

2

∴0＜±1-3-m＜

11

2

∴0＜1-3-m＜

11

2

或0＜-1-3-m＜

11

2

∴-

15

2

＜m＜-2或-

19

2

＜m＜-4
∴-

19

2

＜m＜-2
∴m的取值范围为(-

19

2

，-2)．

点评：本题主要考查了直线与曲线的相交关系的应用，方程的根与系数关系的应用，中点坐标公式的应用，点到直线的距离公式等知识的综合应用，解题的关键是具备一定的计算能力