【题目】已知函数,
,且曲线
在
处的切线方程为
.
(1)求,
的值;
(2)求函数在
上的最小值;
(3)证明:当时,
.
【答案】(1) (2)
(3)见解析
【解析】试题分析:(1)求出f(x)的导数,计算,
,求出a,b的值即可;
(2)求出f(x)的导数,得到导函数的单调性,得到f(x)在[0,1]递增,从而求出f(x)的最大值;
(3)只需证明x>0时, ,因为
,且曲线
在
处的切线方程为
,故可猜测:当
且
时,
的图象恒在切线
的上方.
试题解析:
(1)由题设得,∴
,
解得, .
(2)由(1)知, ,
令函数,∴
,
当时,
,
递减;
当时,
,
递增;∴
,即
∴当时,
,且仅当
时
,
故在
上单调递增,
∴;
(3)由题要证:当时,
,
即证: ,
因为,且曲线
在
处的切线方程为
,
故可猜测:当且
时,
的图象恒在切线
的上方.
下面证明:当时,
,
证明:设,
,
则,令
,
,
当时,
,
单调递减;
当时,
,
单调递增,
又,
,
,
所以,存在,使得
,
当时,
;当
,
故在
上单调递增,在
上单调递减,在
上单调递增.
又,∴
,当且仅当
时取等号.
故.
由(2)知, ,故
,∴
,当且仅当
时取等号.
所以, .
即.所以,
,
即成立,当
时等号成立.
故:当时,
, 12分
方法二:要证,等价于
,又
,可转化为证明
令,
,
,因此当
时,
,
单调递增;当
时,
,
单调递减;
有最大值
,即
恒成立,即当
时,
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列满足
,
,其中
,
,
为非零常数.
(1)若,
,求证:
为等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)若数列是公差不等于零的等差数列.
①求实数,
的值;
②数列的前
项和
构成数列
,从
中取不同的四项按从小到大排列组成四项子数列.试问:是否存在首项为
的四项子数列,使得该子数列中的所有项之和恰好为2017?若存在,求出所有满足条件的四项子数列;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设数列的首项为
,前
项和为
,若对任意的
,均有
(
是常数且
)成立,则称数列
为“
数列”.
(1)若数列为“
数列”,求数列
的通项公式;
(2)是否存在数列既是“
数列”,也是“
数列”?若存在,求出符合条件的数列
的通项公式及对应的
的值;若不存在,请说明理由;
(3)若数列为“
数列”,
,设
,证明:
.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线:
的焦点为
,圆
:
,过
作垂直于
轴的直线交抛物线
于
、
两点,且
的面积为
.
(1)求抛物线的方程和圆
的方程;
(2)若直线、
均过坐标原点
,且互相垂直,
交抛物线
于
,交圆
于
,
交抛物线
于
,交圆
于
,求
与
的面积比的最小值.
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】【2018天一大联考高中毕业班阶段性测试(四)】已知函数,
.
(I)若恒成立,求实数
的取值范围;
(II)证明:对于任意正整数,都有
成立.
附: .
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】随着共享单车的成功运营,更多的共享产品逐步走入大家的世界,共享汽车、共享篮球、共享充电宝等各种共享产品层出不穷.某公司随机抽取1000人对共享产品是否对日常生活有益进行了问卷调查,并对参与调查的1000人中的性别以及意见进行了分类,得到的数据如下表所示:
男 | 女 | 总计 | |
认为共享产品对生活有益 | 400 | 300 | 700 |
认为共享产品对生活无益 | 100 | 200 | 300 |
总计 | 500 | 500 | 1000 |
(1)根据表中的数据,能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为共享产品的态度与性别有关系?
(2)为了答谢参与问卷调查的人员,该公司对参与本次问卷调查的人员随机发放1张超市的购物券,购物券金额以及发放的概率如下:
购物券金额 | 20元 | 50元 |
概率 |
现有甲、乙两人领取了购物券,记两人领取的购物券的总金额为,求
的分布列和数学期望.
参考公式: .
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
查看答案和解析>>
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),在以
为极点,
轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
是圆心为
,半径为1的圆.
(1)求曲线,
的直角坐标方程;
(2)设为曲线
上的点,
为曲线
上的点,求
的取值范围.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com