【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆E:(a>b>0)的离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2.
(1)求椭圆E的标准方程;
(2)己知A,B分别为椭圆E的左、右顶点,过x轴上一点P(异于原点)作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆E相交于C,D两点,且直线AC与BD相交于点Q.①若k=1,求线段CD中点横坐标的取值范围;②判断是否为定值,并说明理由.
【答案】(1);(2)①;②为定值,理由见解析
【解析】
(1)根据离心率和短轴的端点到焦点的距离列方程组,解方程组求得的值,由此求得椭圆的标准方程.
(2)①当时,设直线的方程为,联立直线的方程和椭圆的方程,利用判别式列不等式求得的取值范围.利用韦达定理以及中点坐标公式求得中点的横坐标,根据的取值范围,求得中点的横坐标的取值范围.
②将两点的坐标并代入椭圆方程进行化简.设直线的方程为,求得点的坐标,联立直线的方程和椭圆方程,写出韦达定理.利用直线和直线的方程进行化简,求得点的横坐标,由此求得
(1)由于椭圆离心率为,且椭圆E的短轴的端点到焦点的距离等于2,所以,解得,所以椭圆的标准方程为.
(2)①当时,设直线的方程为,,中点坐标为,由,得.所以.由,解得.故中点横坐标为,当时,即的中点为原点时,与重合,不满足条件.所以线段中点横坐标的取值范围是.
②为定值,理由如下:因为分别为椭圆的左右顶点,所以,因为在椭圆上,所以,所以,所以.
设直线的方程为,则.由得,所以,,也是要,又直线与直线的方程分别为与,两方程相除得,解得,所以为定值.
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【题目】如图,设抛物线与的公共点的横坐标为,过且与相切的直线交于另一点,过且与相切的直线交于另一点,记为的面积.
(Ⅰ)求的值(用表示);
(Ⅱ)若,求的取值范围.
注:若直线与抛物线有且只有一个公共点,且与抛物线的对称轴不平行也不重合,则称该直线与抛物线相切.
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【题目】随着互联网经济不断发展,网上开店销售农产品的人群越来越多,网上交易额也逐年增加,某一农户农产品连续五年的网银交易额统计表,如下所示:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
网上交易额(万元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
经研究发现,年份与网银交易额之间呈线性相关关系,为了计算的方便,农户将上表的数据进行了处理,,得到如表:
时间代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)通过(1)中的方程.求出关于的回归方程;并用所求回归方程预测到2020年年底,该农户网店网银交易额可达多少?
(附:在线性回归方程中,,)
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=30°.△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=45°,且AC=1.将△ABD沿边AB折叠后,
(1)若二面角C—AB—D为直二面角,则直线CD与平面ABC所成角的正切值为_______;
(2)若二面角C—AB—D的大小为150°,则线段CD的长为_______.
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【题目】两地相距,现计划在两地间以为端点的线段上,选择一点处建造畜牧养殖场,其对两地的影响度与所选地点到两地的距离有关,对地和地的总影响度为对地和地的影响度之和,记点到地的距离为,建在处的畜牧养殖场对地和地的总影响度为.统计调查表明:畜牧养殖场对地的影响度与所选地点到地的距离成反比,比例系数为;对地的影响度与所选地点到地的距离成反比,比例系数为,当畜牧养殖场建在线段中点处时,对地和地的总影响度为.
(1)将表示为的函数,写出函数的定义域;
(2)当点到地的距离为多少时,建在此处的畜牧养殖场对地和地的总影响度最小?并求出总影响度的最小值.
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【题目】如图所示,在多面体中,四边形为平行四边形,平面平面,,,,,,,点是棱上的动点.
(Ⅰ)当时,求证平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角所成角的余弦值为,求线段的长.
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【题目】如图,在直三棱柱中,,点分别为棱的中点.
(Ⅰ)求证:∥平面
(Ⅱ)求证:平面平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得直线与平面所成的角为300?如果存在,求出线段的长;如果不存在,说明理由.
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