【题目】【2018福建福州市一中高三上学期期中考试】已知椭圆: 的右焦点为,点在椭圆上,且与轴交点恰为中点.
(I)求椭圆的方程;
(II)过作两条互相垂直的直线,分别交椭圆于点和.求四边形的面积的最小值.
【答案】(I);(II)
【解析】试题分析:(1)由题意易得,即,根据椭圆的定义可求出的值,故而可求出,即可求出椭圆的方程;(2)考虑直线的斜率为0或不存在,分别求得面积,讨论当直线的斜率存在且不为零时,设直线的方程为,( ),代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式可得,将换为得,由四边形的面积公式,运用换元法和基本不等式,可得最小值;,即可得到面积的最小值
试题解析:(1)依题意, ,另一焦点坐标为,
,所以, ,所以,所以椭圆的方程为.
(2)当垂直于坐标轴时, , , ,
当不垂直于坐标轴时,设直线的方程为, , ,
由,得,
, , ,
,
,
同理, ,
所以,
因为,当且仅当,即时等号成立,所以.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,AC与BD相交于点O,AE⊥平面ABCD,CF//AE,AB=AE=2.
(1)求证:BD⊥平面ACFE;
(2)当直线FO与平面BDE所成的角为45°时,求二面角B﹣EF﹣D的余弦值.
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【题目】博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办,大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后,组织一次 知识竞赛,将所得成绩制成如右频率分布直方图(假定每个分数段内的成绩均匀分布),组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励.
(1)试确定受奖励的分数线;
(2)从受奖励的20人中利用分层抽样抽取5人,再从抽取的5人中抽取2人在主会场服务,试求2人成绩都在90分以上的概率.
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【题目】为了解甲、乙两校高三年级学生某次期末联考地理成绩情况,从这两学校中分别随机抽取30名高三年级的地理成绩(百分制)作为样本,样本数据的茎叶图如图所示:
(1)若乙校高三年级每位学生被抽取的概率为0.15,求乙校高三年级学生总人数;
(2)根据茎叶图,分析甲、乙两校高三年级学生在这次联考中哪个学校地理成绩较好?(不要求计算,要求写出理由);
(3)从样本中甲、乙两校高三年级学生地理成绩不及格(低于60分为不及格)的学生中随机抽取2人,求至少抽到一名乙校学生的概率.
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【题目】已知向量, (),若,且的图象上两相邻对称轴间的距离为.
(Ⅰ)求的单调递减区间;
(Ⅱ)设的内角, , 的对边分别为, , ,且满足, , ,求, 的值.
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【题目】[选修4-4,坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线C的参数方程为 ,以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为。
(1)求直线的直角坐标方程和曲线C的普通方程。
(2)设点P为曲线C上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值。
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【题目】(2016高考新课标II,理15)有三张卡片,分别写有1和2,1和3,2和3.甲,乙,丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说:“我与乙的卡片上相同的数字不是2”,乙看了丙的卡片后说:“我与丙的卡片上相同的数字不是1”,丙说:“我的卡片上的数字之和不是5”,则甲的卡片上的数字是________.
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【题目】某县政府为了引导居民合理用水,决定全面实施阶梯水价,阶梯水价原则上以住宅(一套住宅为一户)的月用水量为基准定价:若用水量不超过12吨时,按4元/吨计算水费;若用水量超过12吨且不超过14吨时,超过12吨部分按6.60元/吨计算水费;若用水量超过14吨时,超过14吨部分按7.80元/吨计算水费.为了了解全市居民月用水量的分布情况,通过抽样,获得了100户居民的月用水量(单位:吨),将数据按照,,…,分成8组,制成了如图1所示的频率分布直方图.
(图1) (图2)
(Ⅰ)通过频率分布直方图,估计该市居民每月的用水量的平均数和中位数(精确到0.01);
(Ⅱ)求用户用水费用(元)关于月用水量(吨)的函数关系式;
(Ⅲ)如图2是该县居民李某2017年1~6月份的月用水费(元)与月份的散点图,其拟合的线性回归方程是.若李某2017年1~7月份水费总支出为294.6元,试估计李某7月份的用水吨数.
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