【题目】已知函数 ,其中a为实数.
(1)当 时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当x≥ 时,若关于x的不等式f(x)≥0恒成立,试求a的取值范围.
【答案】
(1)解:当a=﹣ 时,
,f(1)=e﹣1,
,
.
故曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为:y﹣e+1= (x﹣1),
即
(2)解:由f(x)≥0,得 ,
∵ ,∴
.
令 ,则
=
.
令h(x)= ,则h′(x)=x(ex﹣1).
∵x ,∴h′(x)>0,即h(x)在[
)上单调递增.
∴h(x)≥h( )=
.
∴g′(x)>0.故g(x)在[ )上单调递增.
则g(x)≥ .
∴a的取值范围是
【解析】(1)把a=﹣ 代入函数解析式,求出f(1),求出函数的导函数,得到f′(1),由点斜式写出切线方程;(2)把不等式f(x)≥0恒成立转化为
恒成立.利用导数求函数
的最小值,则a小于等于函数g(x)的最小值,答案可求.
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【题目】在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的三边,a2﹣(b﹣c)2=bc,
(1)求角A;
(2)若BC=2 ,角B等于x,周长为y,求函数y=f(x)的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2-4x=0的圆心为Q.
(1)求过点P(0,-4)且与圆Q相切的直线的方程;
(2)若过点p(0,-4)且斜率为k的直线与圆Q相交于不同的两点A,B,以OA、OB为邻边做平行四边形OABC,问是否存在常数k,使得平行四边形OABC为矩形?请说明理由.
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【题目】在△ABC中,A,B,C成等差数列是(b+a﹣c)(b﹣a+c)=ac的( )
A.充分但不必要条件
B.必要但不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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【题目】若方程 所表示的曲线为C,给出下列四个命题:
①若C为椭圆,则;
②若C为双曲线,则或
;
③曲线C不可能是圆;
④若,曲线C为椭圆,且焦点坐标为
;
⑤若,曲线C为双曲线,且虚半轴长为
.
其中真命题的序号为____________.(把所有正确命题的序号都填在横线上)
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【题目】如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是直角梯形,其中DA⊥AB,AD∥BC.PA=2AD=BC=2,AB=2 .
(1)求异面直线PC与AD所成角的大小;
(2)若平面ABCD内有一经过点C的曲线E,该曲线上的任一动点Q都满足PQ与AD所成角的大小恰等于PC与AD所成角.试判断曲线E的形状并说明理由;
(3)在平面ABCD内,设点Q是(2)题中的曲线E在直角梯形ABCD内部(包括边界)的一段曲线CG上的动点,其中G为曲线E和DC的交点.以B为圆心,BQ为半径r的圆分别与梯形的边AB、BC交于M、N两点.当Q点在曲线段CG上运动时,试求圆半径r的范围及VP﹣BMN的范围.
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【题目】(选修4﹣5:不等式选讲)
已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3.
(1)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;
(2)设a>﹣1,且当 时,f(x)≤g(x),求a的取值范围.
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