Question

已知三个正数a，b，c满足a＜b＜c．
（1）若a，b，c是从中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率；
（2）若a，b，c是从（0，1）中任取的三个数，求a，b，c能构成三角形三边长的概率．

Answer 1

解：（1）若a，b，c能构成三角形，则．
①若时，．共1种；
②若时．．共2种；
同理时，有3+1=4种；时，有4+2=6种；时，有5+3+1=9种；时，有6+4+2=12种．
于是共有1+2+4+6+9+12=34种．
下面求从中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数：
①若，，则，有7种；，有6种；，，有5种；…； ，有1种．
故共有7+6+5+4+3+2+1=28种．
同理，时，有6+5+4+3+2+1=21种；时，有5+4+3+2+1=15种；时，有4+3+2+1=10种；时，有3+2+1=6种；时，有2+1=3种；时，有1种．这时共有28+21+15+10+6+3+1=84种．
∴a，b，c能构成三角形的概率为=．
（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是．
在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域（如右图阴影部分），
由几何概型的计算方法可知，只求阴影部分的面积与图中正方形的面积比即可．
又S_阴影=，于是所要求的概率为．
分析：（1）讨论c的值，从而求出a，b，c能构成三角形的个数，然后求出求从中任取的三个数a，b，c（a＜b＜c）的种数，利用古典概型的概率公式解之即可；
（2）a，b，c能构成三角形的充要条件是，在坐标系aOb内画出满足以上条件的区域，由几何概型的计算方法可求出所求．
点评：本题考查古典概型和几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．