Question

3．已知函数f（x）=2^x|2^x-a|+2^x+1-1，其中a为实数，若f（x）在R上单调，则实数a的取值范围为a≤2．．

Answer 1

分析 根据绝对值，讨论2^x-a的符号，利用换元法转化为一元二次函数，利用一元二次函数的单调性进行求解．

解答 解：①若a≤0，则f（x）=2^x（2^x-a）+2^x+1-1=（2^x）²-a•2^x+2•2^x-1=（2^x）²+（2-a）•2^x-1，
令t=2^x，则t＞0，
则f（t）=t²+（2-a）t-1，则t＞0时单调，
对称轴$-\frac{2-a}{2}≤0$，即a≤2，此时a≤0．
②若a＞0，则由2^x-a≥0得2^x≥a，即x≥log₂a，
当x≥log₂a时，f（x）=2^x（2^x-a）+2^x+1-1=（2^x）²+（2-a）•2^x-1，
设t=2^x，x≥log₂a，∴t≥a
则f（t）=t²+（2-a）t-1，则t≥a时单调递增，
③若2^x-a＜0得2^x＜a，即x＜log₂a，
当x＜log₂a时，f（x）=2^x（a-2^x）+2^x+1-1=-（2^x）²+（2+a）•2^x-1，
设t=2^x，x＜log₂a，∴0＜t＜a
则f（t）=-t²+（2+a）t-1，0＜t＜a，
则f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{{t}^{2}+（2-a）t-1，}&{t≥a}\\{-{t}^{2}+（a+2）t-1，}&{0＜t＜a}\end{array}\right.$，
∴a²+（2-a）a-1=2a-1，-a²+（a+2）a-1=2a-1，
即分段函数在分段点相连，
则对称轴满足$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{2-a}{2}≤a}\\{\frac{a+2}{2}≥a}\end{array}\right.$，解得-2≤a≤2，
∵a＞0，∴0＜a≤2，
综上a≤2．
故答案为：a≤2．

点评 本题主要考查函数单调性的判断，利用换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．