Question

过双曲线2x²-y²=1上一点A（1，1）作两条动弦AB，AC，且直线AB，AC的斜率的乘积为3．
（1）问直线BC是否可与坐标轴垂直？若可与坐标轴垂直，求直线BC的方程，若不与坐标轴垂直，试说明理由．
（2）证明直线BC过定点．

Answer 1

（1）解：令B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
当BC与x轴垂直时，有x₁=x₂，y₁=-y₂，
故：3=
∴x₁=，与|x₁|≥矛盾，因此BC不与x轴垂直..（3分）
当BC与y轴垂直时，有x₁=-x₂，y₁=y₂，
故：3=
∴y₁=-，因此BC可与y轴垂直，此时BC的方程为y=-．（5分）
（2）证明：当BC不与坐标轴垂直时，k_AB•k_AC==3，
故3（x₁-1）（x₂-1）=（y₁-1）（y₂-1）．…①…（6分）
令BC：y=kx+b，代入双曲线方程有：2x²-（kx+b）²=1?（2-k²）x²-2kbx-b²-1=0．…②
x₁，x₂是方程②的两个实根．令f（x）=（2-k²）x²-2kbx-b²-1，
则（x₁-1）（x₂-1）=．③…..（8分）
直线方程又可写成：x=，代入2x²-y²=1，有：2（y-b）²-k²y²=k²，整理得：（2-k²）y²-4by+2b²-k²=0．…④
y₁，y₂是方程④的两个实根．
令g（y）=（2-k²）y²-4by+2b²-k²．
（y₁-1）（y₂-1）=．…⑤…（10分）
③，⑤两式代入①式，有：，
故3[1-（k+b）²]=2[（b-1）²-k²]，
从而：3（1-k-b）（1+k+b）=2（b-1-k）（b-1+k）．…⑥
因为点A（1，1）不在直线y=kx+b上，故k+b≠1．
利用⑥，可知：3 （1+k+b）+2（b-1-k）=0，
即k+5b+1=0，所以．
因此直线BC过定点M，直线y=-也过定点M．
综上所述，直线BC恒过定点M．…（14分）
分析：（1）分类讨论，利用直线AB，AC的斜率的乘积为3，即可求得结论；
（2）令BC：y=kx+b，代入双曲线方程，得出k+5b+1=0，所以，因此直线BC过定点M，直线y=-也过定点，从而可得结论．
点评：本题考查直线与双曲线的位置关系，考查直线恒过定点，考查学生的计算能力，难度较大．