Question

设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（　　）

• A．对任意x∈(0，

  1

  2

  )，都有f（x）＞f（1-x）
• B．对任意x∈(0，

  1

  2

  )，都有f（x）＜f（1-x）
• C．对任意x1，x2∈(

  1

  2

  ，1)，都有f（x₁）＜f（x₂）
• D．对任意x1，x2∈(

  1

  2

  ，1)，都有f（x₁）=f（x₂）

Answer 1

分析：由已知不等式将x₁、x₂互换位置，可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，再将其与已知式相加，得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤4任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．再根据基本不等式，证出

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≥4恒成立，所以有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

=4，结合基本不等式取等号的条件，可得f（x₁）=f（x₂）对任意x₁、
x₂∈（0，1）恒成立．由以上结论，对照各个选项，则不难得到本题的答案．

解答：解：∵对任意x₁，x₂∈（0，1），恒有

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≤2，…（1）
∴将x₁、x₂的位置互换，可得

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤2，…（2）
（1）（2）相加，得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≤4，…（3）
又∵对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得

f(x2)

f(x1)

+

f(x1)

f(x2)

≥2且

f(1-x2)

f(1-x1)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

≥2
两式相加，得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

≥4…（4）
对照（3）（4），可得

f(x1)

f(x2)

+

f(1-x1)

f(1-x2)

+

f(x2)

f(x1)

+

f(1-x2)

f(1-x1)

=4任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立
结合基本不等式的等号成立的条件，可得

f(x2)

f(x1)

=

f(x1)

f(x2)

=1，故f（x₁）=f（x₂）对任意x₁，x₂∈（0，1）恒成立．
由以上的结论，可得D选项正确，而C选项与D矛盾，故不正确
而A、B中的结论应该改成对任意x∈(0，

1

2

)，都有f（x）=f（1-x）
故答案为：D

点评：本题给出抽象函数和已知不等式，判断几个命题的真假性，着重考查了函数的自变量的对称性、不等式的性质和基本不等式等知识，属于基础题．