【题目】已知函数.
(1)求的最小正周期;
(2)求的单调增区间;
(3)若,求的最大值与最小值.
【答案】(1);(2)[kπ﹣,kπ+],k∈Z;(3)f(x)=2,f(x)=﹣1
【解析】
(1)利用三角恒等变换,化简函数的解析式,再利用正弦函数的周期性,得出结论;
(2)利用正弦函数的单调性,求出f(x)的单调增区间;
(3)利用正弦函数的定义域和值域,求得当时,f(x)的最大值与最小值.
(1)∵函数f(x)=sin4x+2sinxcosx﹣cos4x=(sin4x﹣cos4x)+sin2x=﹣cos2x+sin2x=2sin(2x﹣),
∴f(x)的最小正周期为=π.
(2)令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+,求得kπ﹣≤x≤kπ+,可得f(x)的单调增区间为[kπ﹣,kπ+],k∈Z.
(3)若,则2x﹣∈,
当2x﹣=时,f(x)=2;当2x﹣=﹣时,f(x)=.
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【题目】(1)已知函数,其中,求函数的图象恰好经过第一、二、三象限的概率;
(2)某校早上8:10开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~8:00之间到校,且每人到该时间段内到校时刻是等可能的,求两人到校时刻相差10分钟以上的概率.
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【题目】已知曲线的极坐标方程为,倾斜角为的直线过点.
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的参数方程;
(2)设,是过点且关于直线对称的两条直线,与交于两点,与交于, 两点. 求证:.
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【题目】在极坐标系中,曲线的极坐标方程是,点是曲线上的动点.点满足 (为极点).设点的轨迹为曲线.以极点为原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系,已知直线的参数方程是,(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程;
(2)设直线交两坐标轴于,两点,求面积的最大值.
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【题目】已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|x>2}.
(Ⅰ)分别求A∩B,(RB)∪A;
(Ⅱ)已知集合C={x|1<x<a},若CA,求实数a的取值集合.
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【题目】设是两个非零平面向量,则有:
①若,则
②若,则
③若,则存在实数,使得
④若存在实数,使得,则或四个命题中真命题的序号为 __________.(填写所有真命题的序号)
【答案】①③④
【解析】逐一考查所给的结论:
①若,则,据此有:,说法①正确;
②若,取,则,
而,说法②错误;
③若,则,据此有:,
由平面向量数量积的定义有:,
则向量反向,故存在实数,使得,说法③正确;
④若存在实数,使得,则向量与向量共线,
此时,,
若题中所给的命题正确,则,
该结论明显成立.即说法④正确;
综上可得:真命题的序号为①③④.
点睛:处理两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用.
【题型】填空题
【结束】
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【题目】已知在中,,且.
(1)求角的大小;
(2)设数列满足,前项和为,若,求的值.
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【题目】某公司生产一种电子仪器的固定成本为20000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数: ,其中是仪器的月产量.(注:总收益=总成本+利润)
(1)将利润表示为月产量的函数;
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?
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