Question

如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁A⊥面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，异面直线AD₁与BC所成角为45°．
（1）求证：AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）求直线DD₁与平面ACD₁所成角的正弦值．

Answer 1

解：（1）由已知得，D₁D⊥底面ABCD，AC?平面ABCD，
所以 AC⊥D₁D，
又∠BAD=90°，BC∥AD，AB=BC=1，AD=2，
所以，
所以，
又CD∩DD₁=D，
故AC⊥平面CC₁D₁D；
（2）因为BC∥AD，
所以∠D₁AD为异面直线AD₁与BC所成角，即为45°，
又D₁D⊥AD，
所以D₁D=AD=2，
过点D作DH⊥CD₁，交CD₁于点H，
由（1）知，AC⊥DH，又AC∩CD₁=C，
所以DH⊥平面ACD₁，
故∠DD₁C是直线DD₁与平面ACD₁所成角，记为θ，
在Rt△D₁DC中，，
所以；
分析：（1）要证AC⊥平面CC₁D₁D，易知AC⊥D₁D，所以只需证明AC⊥CD，运用勾股定理计算可证；
（2）由（1）知AC⊥平面CC₁D₁D，则在平面CC₁D₁D内作DH⊥CD₁，易证DH⊥平面ACD₁，则∠DD₁C即为直线DD₁与平面ACD₁所成角，通过解直角三角形即可求得其正弦值；
点评：本题考查线面垂直的判定及直线与平面所成的角的求解，考查学生的推理论证能力，考查学生的空间想象能力，解决（2）问的关键是作出线面角》