Question

已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PD⊥底面ABCD，E，F分别为棱BC、AD的中点.

（1）求证：DE∥平面PFB；

（2）已知二面角P-BF-C的余弦值为，求四棱锥P-ABCD的体积.

【解析】(1)证：DE//BF即可；

（2）可以利用向量法根据二面角P-BF-C的余弦值为,确定高PD的值，即可求出四棱锥的体积.也可利用传统方法直接作出二面角的平面角，求高PD的值也可.在找平面角时，要考虑运用三垂线或逆定理.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）因为E，F分别为正方形ABCD的两边BC，AD的中点，

所以,                            2分

所以，为平行四边形,                3分

得，                             4分          

又因为平面PFB，且平面PFB,    所以DE∥平面PFB.           5分

（Ⅱ）如图，以D为原点，射线DA,DC,DP分

别为x,y,z轴建立空间直角坐标系.           6分

设PD=a,      可得如下点的坐标：

P(0,0,a),F(1,0,0),B(2,2,0)            则有：

因为PD⊥底面ABCD，所以平面ABCD的一个法向量为，     7分

设平面PFB的一个法向量为，则可得

   即 

令x=1,得，所以.           8分

由已知，二面角P-BF-C的余弦值为，所以得:

,              

解得a =2.   因为PD是四棱锥P-ABCD的高，所以，其体积为.