【题目】已知函数,
,其中
是自然对数的底数.
(1)求函数在[0,π] 上的最大值与最小值;
(2)令,讨论
的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】
(1)求导研究函数在[0,π] 上的单调性,进而求出最值;
(2)求出,并求导可得
,令
,求导可得函数
在
上单调递增,进而可得
,对
分类讨论:
,
,
,
时,利用导数研究函数的单调性和极值即可.
解:(1)由已知,
令,则
此时恒成立,则
在
上单调递增,
又,则
在
上恒成立,
在
上单调递增,
;
(2),
令,则
,
所以函数在
上单调递增,
时,
时,
,
①时,
时,
,
时,
,
函数在
上单调递增,在
上单调递减,
时,函数
取到极小值
;
②时,令
,
解得,
i)时,
时,
,
,函数
单调递增;
时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增;
时,函数
取到极小值
,
时,函数
取到极大值
;
ii) 时,
时,
,
所以函数在
上单调递增,无极值;
iii) 时,
,
时,
,函数
单调递增;
时,
,函数
单调递减;
时,
,函数
单调递增,
时,函数
取到极大值
;
时,函数
取到极小值
;
综上所述:
时,函数
在
上单调递增,在
上单调递减,
时,函数
取到极小值
;
时,函数
在
,
上单调递增,在
上单调递减;
时,函数
取到极小值
,
时,函数
取到极大值
;
时,函数
在
上单调递增,无极值;
时, 函数
在
,
上单调递增,在
上单调递减;
时,函数
取到极大值
;
时,函数
取到极小值
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知椭圆
的离心率为
,两焦点与短轴的一个端点的连线构成的三角形面积为
.
(I)求椭圆的方程;
(II)设与圆相切的直线
交椭圆
于
,
两点(
为坐标原点),
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取名中学生的笔试成绩,按成绩分组,得到的频率分布表如表所示.
组号 | 分组 | 频数 | 频率 |
第1组 | 5 | ||
第2组 | ① | ||
第3组 | 30 | ② | |
第4组 | 20 | ||
第5组 | 10 |
(1)请先求出频率分布表中位置的相应数据,再完成频率分布直方图;
(2)为了能选拔出最优秀的学生,高校决定在笔试成绩高的第组中用分层抽样抽取名学生进入第二轮面试,求第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试;
(3)在(2)的前提下,学校决定在名学生中随机抽取
名学生接受
考官进行面试,求:第
组至少有一名学生被考官
面试的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 | 3月1日 | 3月2日 | 3月3日 | 3月4日 | 3月5日 |
温差 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 |
发芽数 | 23 | 25 | 30 | 26 | 16 |
(1)求这5天的平均发芽率;
(2)从3月1日至3月5日中任选2天,记发芽的种子数分别为,
,用
的形式列出所有的基本事件,并求满足
的事件
的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布,旨在保障全民阅读权利,培养全民阅读习惯,提高全民阅读能力,推动文明城市和文化强市建设.某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况,随机调查了200名学生每周阅读时间(单位:小时)并绘制如图所示的频率分布直方图.
(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和样本方差
(同一组中的数据用该组区间的中间值代表);
(2)由直方图可以认为,目前该校学生每周的阅读时间服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
,
近似为样本方差
.
(i)一般正态分布的概率都可以转化为标准正态分布的概率进行计算:若,令
,则
,且
.利用直方图得到的正态分布,求
.
(ii)从该高校的学生中随机抽取20名,记表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数,求
(结果精确到0.0001)以及
的数学期望.
参考数据:,
.若
,则
.
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