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已知点P是以F1,F2为焦点的椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上一点,且
PF1
PF2
=0
tan∠PF1F2=
1
2
,则该椭圆的离心率等于
5
3
5
3
分析:依题意,焦点三角形PF1F2为直角三角形,利用解直角三角形知识可得|PF2|=
2
5
5
c,再由椭圆定义,可得|PF2|=
2a
3
,从而由等式
2a
3
=
2
5
5
c求得椭圆离心率
解答:解:在三角形PF1F2中,|F1F2|=2c,
PF1
PF2
=0
,∴∠F1PF2=90°
tan∠PF1F2=
1
2
,∴|PF1|=2|PF2|
∴|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2=5|PF2|2=4c2
∴|PF2|=
2
5
5
c
∵|PF1|+|PF2|=3|PF2|=2a
∴|PF2|=
2a
3

2a
3
=
2
5
5
c
∴e=
c
a
=
5
3

故答案为
5
3
点评:本题考查了椭圆的几何性质,椭圆中焦点三角形的性质和计算,椭圆定义的应用及椭圆离心率的定义及计算方法,有一定的运算量
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,则称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比.已知椭圆C1
x2
a2
+
y2
b2
=1
以抛物线y2=4
3
x
的焦点为一个焦点,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)若椭圆C2与椭圆C1相似,且相似比为2,求椭圆C2的方程.
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任一点,若点Q是直线y=nx与抛物线x2=
1
mn
y
异于原点的交点,证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)已知直线l:y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直线l上,B,D在曲线Cb上,若存在求出函数f(b)=SABCD的解析式及定义域,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
的左、右焦点分别为F1,F2,点P是x轴上方椭圆E上的一点,且PF1⊥F1F2|PF1|=
3
2
|PF2|=
5
2

(Ⅰ) 求椭圆E的方程和P点的坐标;
(Ⅱ)判断以PF2为直径的圆与以椭圆E的长轴为直径的圆的位置关系;
(Ⅲ)若点G是椭圆C:
x2
m2
+
y2
n2
=1(m>n>0)
上的任意一点,F是椭圆C的一个焦点,探究以GF为直径的圆与以椭圆C的长轴为直径的圆的位置关系.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•青岛一模)已知点M在椭圆D:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)上,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的右焦点,若圆M与y轴相交于A,B两点,且△ABM是边长为
2
6
3
的正三角形.
(Ⅰ)求椭圆D的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆D上的一点,过点P的直线l交x轴于点F(-1,0),交y轴于点Q,若
QP
=2
PF
,求直线l的斜率;
(Ⅲ)过点G(0,-2)作直线GK与椭圆N:
3x2
a2
+
4y2
b2
=1
左半部分交于H,K两点,又过椭圆N的右焦点F1做平行于HK的直线交椭圆N于R,S两点,试判断满足|GH|•|GK|=3|RF1|•|F1S|的直线GK是否存在?请说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知点F1(0,-1)和抛物线C1:x2=2py的焦点F关于x轴对称,点M是以点F为圆心,4为半径的⊙F上任意一点,线段MF1的垂直平分线与线段MF交于点P,设点P的轨迹为曲线C2
(1)求抛物线C1和曲线C2的方程;
(2)是否存在直线l,使得直线l分别与抛物线C1及曲线C2均只有一个公共点,若存在,求出所有这样的直线l的方程,若不存在,请说明理由.

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科目:高中数学 来源:2010年五校联合教学调研数学试卷(理科)(解析版) 题型:解答题

已知椭圆C:的焦点和上顶点分别为F1、F2、B,我们称△F1BF2为椭圆C的特征三角形.如果两个椭圆的特征三角形是相似三角形,则称这两个椭圆为“相似椭圆”,且特征三角形的相似比即为相似椭圆的相似比.已知椭圆C1以抛物线的焦点为一个焦点,且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为4.(1)若椭圆C2与椭圆C1相似,且相似比为2,求椭圆C2的方程.
(2)已知点P(m,n)(mn≠0)是椭圆C1上的任一点,若点Q是直线y=nx与抛物线异于原点的交点,证明点Q一定落在双曲线4x2-4y2=1上.
(3)已知直线l:y=x+1,与椭圆C1相似且短半轴长为b的椭圆为Cb,是否存在正方形ABCD,使得A,C在直线l上,B,D在曲线Cb上,若存在求出函数f(b)=SABCD的解析式及定义域,若不存在,请说明理由.

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