Question

已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)＜-2x的解集为(1,3).(1)若方程f(x)+6a=0有两个相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)的最小值为负数，求a的取值范围.

Answer 1

解析：本题综合考查一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系及其性质，重点是互相之间的转化.在(1)中，通过不等式f(x)＜-2x的解集为(1,3),用二次函数的标根式把不等式转化成函数，再根据韦达定理将问题转化成关于a的方程.在（2）中，既可以根据二次函数的最值公式将题意转化成不等式，也可以用配方法求最值.

答案：(1)∵f(x)+2x＜0的解集为(1,3),∴设f(x)+2x=a(x-1)(x-3)，则a＞0.因而

　　f(x)=a(x-1)(x-3)-2x=ax²-(2+4a)x+3a①

　　由方程f(x)+6a=0,得ax²-(2+4a)x+9a=0②?

∵方程②有两个相等的根，

∴Δ=［-(2+4a)］²-4a·9a=0,?

即5a²-4a-1=0.解得a=1或a=-.

由于a＞0，舍去a=-.将a=1代入①得f(x)的解析式f(x)=x²-6x+3.?

(2)由f(x)=ax²-2(1+2a)x+3a

=a(x-)²-及a＞0，可得f(x)的最小值为-.?

由题意可得解得a＞0.

故当f(x)的最小值为负数时，实数a的取值范围是a＞0.