已知抛物线
上的任意一点
到该抛物线焦点的距离比该点到
轴的距离多1．
（1）求
的值；
（2）如图所示，过定点
（2，0）且互相垂直的两条直线
、
分别与该抛物线分别交于
、
、
、
四点．
（i）求四边形
面积的最小值；
（ii）设线段
、
的中点分别为
、
两点，试问：直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．
（1）
（2）（i）四边形面积的最小值是48（ii）
解析试题分析：（1）直接利用抛物线的定义
（2）（i）
S四边形ABCD，
，利用弦长
公式，以及基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题
的解法求解
（ii）恒过定点问题的常规解法
试题解析：
（1）由已知
∴
（2）（i）由题意可设直线
的方程为
（
），代入
得
设
则
，
∴
6分
同理可得
7分
S四边形ABCD
8分
设
则
∴S四边形ABCD
∵函数
在
上是增函数
∴S四边形ABCD
，当且仅当即
即
时取等号
∴四边形面积的最小值是48. 9分
（ii）由①得
∴
∴
∴
， 11分
同理得
12分
∴直线的方程可表示为
即
当
时得
∴直线过定点（4,0）. 14分
注：第（2）中的第（i）问：
S四边形ABCD
（当且仅当时取等号）也可.
考点：本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，弦长公式，基本不等式，二次函数在闭区间上的最值问题等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．
发散思维新课堂系列答案科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆C：
＋
＝1
的离心率为
，左焦点为F(－1，0)，
(1)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线L与椭圆C交于M，N两点，若
，求直线L的方程；
(2)椭圆C上是否存在三点P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝
？
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
已知椭圆
的离心率
，长轴的左右端点分别为
，
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线
与曲线有且只有一个公共点
，且与直线
相交于点
.
求证：以
为直径的圆过定点
.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，圆
与直线
相切于点
，与
正半轴交于点
，与直线
在第一象限的交点为
.点
为圆上任一点，且满足
，动点
的轨迹记为曲线
．
（1）求圆的方程及曲线的方程；
（2）若两条直线
和
分别交曲线于点
、
和
、
，求四边形
面积的最大值，并求此时的
的值．
（3）证明：曲线为椭圆，并求椭圆的焦点坐标．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
的内切圆与三边
的切点分别为
,已知
，内切圆圆心
,设点A的轨迹为R. 
（1）求R的方程；
（2）过点C的动直线m交曲线R于不同的两点M,N，问在x轴上是否存在一定点Q（Q不与C重合），使
恒成立，若求出Q点的坐标，若不存在，说明理由.
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，已知焦点在
轴上的椭圆
经过点
，直线
交椭圆于
不同的两点．
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）求实数
的取值范围；
（3）是否存在实数，使△
是以
为直角的直角三角形，若存在，求出的值，若不存，请说明理由．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图，在平面直角坐标系
中，已知
，
，
是椭圆
上不同的三点，
，
，在第三象限，线段
的中点在直线
上．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求点C的坐标；
（3）设动点
在椭圆上（异于点，，）且直线PB，PC分别交直线OA于
，
两点，证明
为定值并求出该定值．
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科目：高中数学 来源： 题型：解答题
如图所示，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线段C上任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|＝
，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．
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，C为圆B上任意一点，求AC垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程。