Question

【题目】在如图所示的几何体中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为等腰梯形，，且，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF=AC，且EFAC.

（Ⅰ）证明：AB⊥CF；

（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由EA⊥平面ABCD得BA⊥AE．由四边形ABCD为等腰梯形，，且，∠ABC＝60°，得AB⊥AC，进而推出AB⊥平面ACFE．即可得AB⊥CF．

（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BEF的一个法向量，平面DEF的一个法向量，通过向量的数量积求解二面角的余弦值即可．

（Ⅰ）由题知EA⊥平面ABCD，BA平面ABCD，∴BA⊥AE．

四边形ABCD为等腰梯形，，且，AD＝1，所以BC=2，∠ABC＝60°，

过点A作AH⊥BC于H，在RT△ABH中，，∴AB＝1，

在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2ABBCcos60°＝3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，

且AC∩EA＝A，∴AB⊥平面ACFE．又∵CF平面ACFE，∴AB⊥CF.

（Ⅱ）以A为坐标原点，AB，AC，AE分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

EF=AC，且EFAC，AD＝AE＝1，则，

设为平面BEF的一个法向量，则令 ，得，

设为平面DEF的一个法向量，则令，得，

∴，二面角B﹣EF﹣D的余弦值为.