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    已知矩阵A=
    3a
    0-1
    ，a∈R，若点P（2，-3）在矩阵A的变换下得到点P′（3，3）．
    （1）则求实数a的值；
    （2）求矩阵A的特征值及其对应的特征向量．
    考点：不等式的证明,特征值与特征向量的计算
    专题：选作题,矩阵和变换
    分析：（1）由题意，
    3a
    0-1
    2
    -3
    =
    3
    3
    ，即可求出实数a的值；
    （2）先求出矩阵M的特征多项式，进而可求矩阵M的特征值．利用方程组可求相应的特征向量．
    解答： 解：（1）由题意，
    3a
    0-1
    2
    -3
    =
    3
    3
    ，
    ∴6-3a=3，
    ∴a=1；
    （2）f（λ）=
    .
    λ-3-1
    0λ+1
    .
    =（λ-3）（λ+1）=0，
    ∴特征值λ1=3，λ2=-1
    当λ1=3时，解得0•x+y=0
    所以矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为
    1
    0
    ．
    当λ2=-1时，解得-4x-y=0，
    所以矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为
    1
    -4
    ．
    点评：本题考查矩阵的性质和应用、特征值与特征向量的计算，解题时要注意特征值与特征向量的计算公式的运用．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
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    相关习题

    科目：高中数学 来源： 题型：

    在对哈三中高二学生喜欢学的科目的一次调查中，共调查了200人，其中男同学120 人，女同学80人，男同学中有80人喜欢学数学，另外40人喜欢学语文；女同学中有30人喜欢学数学，另外50人喜欢学语文．
    （Ⅰ）填表，完成2×2列联表；
    喜欢科目
    性别    		 数学 语文 总计
    女
    男
    总计
    （Ⅱ）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为性别与喜欢科目有关系？参考公式K2=
    n(ad-bc)2
    (a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

    P（K2≥k） 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
    k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设p（x）=a1
    C
    0
    n
    （2-x）n+a2
    C
    1
    n
    x（2-x）n-1+a3
    C
    2
    n
    x2（2-x）n-2+…+an
    C
    n-1
    n
    xn-1（2-x）+an+1
    C
    n
    n
    xn．
    （Ⅰ）若数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，求p（-
    1
    2
    ）的值；
    （Ⅱ）若数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，求证：p（x）是关于x的一次多项式．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=lnx-
    1
    2
    ax2-2x．
    （1）若a=3，求f（x）的增区间；
    （2）若a＜0，且函数f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；
    （3）若a=-
    1
    2
    且关于x的方程f（x）=-
    1
    2
    x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an-an-1=n，
    （Ⅰ）求数列{an}的通项公式an；
    （Ⅱ）在△ABC中，AB=a3，cosC=
    1
    a2
    ，求△ABC周长的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    求函数y=
    		6
    cosx-
    		2
    sinx在[0，π]上的最值和单调增区间．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    在椭圆
    x2
    16
    +
    y2
    12
    =1上找一点，使这一点到直线x-2y-12=0的距离的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知点P是曲线C：
    x=2cosθ
    y=
    		3
    sinθ
    （θ为参数，π≤θ≤2π）上一点，O为原点．若直线OP的倾斜角为
    π
    3
    ，求点P的直角坐标．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设数列{an}的前n项和为Sn，且an+Sn=1．
    （1）求数列{an}的通项公式；
    （2）设数列{bn}满足：bn=
    1
    an
    +1，又cn=
    1
    an+1bnbn+1
    ，且数列{cn}的前n项和为Tn，求证：Tn＜
    2
    3
    ．

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