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D.(选修4-5:不等式选讲)
设a1,a2,…an 都是正数,且 a1•a2…an=1,求证:(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n

解:∵a1>0,∴根据基本不等式,得1+a1≥2
同理可得,1+a2≥2,1+a3≥2,…,1+an≥2
注意到所有的不等式的两边都是正数,将这n个不等式的左右两边对应相乘,得
(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)≥2n
∵a1•a2…an=1,
∴(1+a1)(1+a2)(1+a3)…(1+an)≥2n•1=2n,即原不等式成立.
分析:根据基本不等式,得1+a1≥2,1+a2≥2,…,1+an≥2.再由不等式的各项都大于0,将此n个不等式左右两边对应相乘,结合a1•a2…an=1即可证出要证明的不等式成立.
点评:本题给出n个正数a1、a2、…an,求证关于a1、a2、…an 的一个不等式恒成立.着重考查了不等式的基本性质和运用基本不等式证明不等关系成立的知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网A.选修4-1:几何证明选讲
如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1>r2 ).圆O1的弦AB交圆O2于点C ( O1不在AB上).求证:AB:AC为定值.
B.选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵A=
11
21
,向量β=
1
2
.求向量
α
,使得A2
α
=
β

C.选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,求过椭圆
x=5cosφ
y=3sinφ
(φ为参数)的右焦点,且与直线
x=4-2t
y=3-t
(t为参数)平行的直线的普通方程.
D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
解不等式:x+|2x-1|<3.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(选做题)本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.[选修4-1:几何证明选讲]
已知△ABC中,AB=AC,D是△ABC外接圆劣弧AC上的点(不与点A,C重合),延长BD至点E.
求证:AD的延长线平分∠CDE
B.[选修4-2:矩阵与变换]
已知矩阵A=
12
-14

(1)求A的逆矩阵A-1
(2)求A的特征值和特征向量.
C.[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线C的极坐标方程为ρ=4sinθ,以极点为原点,极轴为x轴的非负半轴建立平面直角坐标系,直线l的参数方程为
x=
1
2
t
y=
3
2
t+1
(t为参数),求直线l被曲线C截得的线段长度.
D.[选修4-5,不等式选讲](本小题满分10分)
设a,b,c均为正实数,求证:
1
2a
+
1
2b
+
1
2c
1
b+c
+
1
c+a
+
1
a+b

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科目:高中数学 来源: 题型:

 选做题(在A、B、C、D四小题中只能选做两题,并将选作标记用2B铅笔涂黑,每小题10分,共20分,请在答题指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤).
A、(选修4-1:几何证明选讲)
如图,BD为⊙O的直径,AB=AC,AD交BC于E,求证:AB2=AE•AD
B、(选修4-2:矩形与变换)
已知a,b实数,如果矩阵M=
1a
b2
所对应的变换将直线3x-y=1变换成x+2y=1,求a,b的值.
C、(选修4-4,:坐标系与参数方程)
设M、N分别是曲线ρ+2sinθ=0和ρsin(θ+
π
4
)=
2
2
上的动点,判断两曲线的位置关系并求M、N间的最小距离.
D、(选修4-5:不等式选讲)
设a,b,c是不完全相等的正数,求证:a+b+c>
ab
+
bc
+
ca

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科目:高中数学 来源:2010年江苏省高三第四次模拟考试数学试题 题型:解答题

[选做题]

A.选修4—1:几何证明选讲

    如图,设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径,P是⊙O与l的公共点,AC⊥l,BD⊥l,垂足分别为C,D,且PC=PD,求证:

   (1)l是⊙O的切线;

   (2)PB平分∠ABD.

B.选修4—2:矩阵与变换

二阶矩阵对应的变换将点分别变换成点.求矩阵

C.选修4—4:坐标系与参数方程

若两条曲线的极坐标方程分别为=l与=2cos(θ+),它们相交于A,B两点,求线

 段AB的长.

D.选修4—5:不等式选讲

求函数的最大值.

 

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科目:高中数学 来源:2011年高考试题数学1(江苏卷)解析版 题型:解答题

 【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答

             若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A选修4-1:几何证明选讲

   如图,圆与圆内切于点,其半径分别为

的弦交圆于点不在上),

求证:为定值。

B选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵,向量,求向量,使得

C选修4-4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,求过椭圆为参数)的右焦点且与直线为参数)平行的直线的普通方程。

D.选修4-5:不等式选讲

解不等式:

 

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